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輪換對稱法

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名 稱：輪換對稱法 作 用：用來分解輪換對稱式的因式分解方法

一種用來分解輪換對稱式的因式分解方法。

用法

當題目為一個輪換對稱式時，可用輪換對稱法進行分解。（輪換對稱式：交換這些式子中的任意兩個字母，式子不變，另外，兩個輪換對稱式的和、差、積、商仍然是輪換對稱式。）

解題步驟

（1）試根

把下列5個等式分別帶入原式，找出令原式等於0的那個等式。

1、 x=0

2、 x=y

3、 x=-y

4、 x=y+z

5、 x=-y-z

（2）輪換

1、若x=0使原式=0 原式必有因式xyz

2、若x=y使原式=0 原式必有因式（x-y）（y-z）（z-x）

3、若x=-y使原式=0 原式必有因式（x+y）（y+z）（z+x）

4、若x=y+z使原式=0 原式必有因式（x-y-z）（y-z-x）（z-x-y）

5、若x=-y-z使原式=0 原式必有因式（x+y+z）

（3）對比次數

用原式的次數減去必有因式的次數，然後再乘上差的次數的對應的式子。（差幾次添幾次）

須添上的輪換對稱式：

1次：x+y+z

2次：x²+y²+z²、xy+yz+zx

3次：x³+y³+z³、x²y+y²z+z²x、xy²+yz²+zx²、xyz

（4）根據次數待定係數

在需要乘上的式子前加上字母，待定係數。

（5）算出待定的係數

用特值法及恆等式性質算出待定的係數。

（6）得出答案

進行檢驗，寫出答案。

例題

分解因式：x²（y-z）³ +y²（z-x）³ +z²（x-y）³

解： x=y

原式=0

必有因式（x-y）（y-z）（z-x）

原式為五次式，（x-y）（y-z）（z-x）為三次式，則需要補上二次式。

設補上a（x²+y²+z²）+b（xy+yz+zx）

原式=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x²+y²+z²）+b（xy+yz+zx）]

特值法：

令x=1 y=2 z=3

x²（y-z）³ +y²（z-x）³ +z²（x-y）³=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x²+y²+z²）+b（xy+yz+zx）]

-1+32-9=（-1）·（-1）·2·（14a+11b）

22=28a+22b

14a+11b=11

令x=3 y=2 z=4

x²（y-z）³ +y²（z-x）³ +z²（x-y）³=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x²+y²+z²）+b（xy+yz+zx）]

-72+4+16=1·（-2）·1·（29a+26b）

-52=-58a-52b

29a+26b=26

14a+11b=11

29a+26b=26

解得a=0

b=1

原式=（x-y）（y-z）（z-x）（xy+yz+zx）

參考來源

高中男子用輪換對稱法20秒做一題，步驟太簡單學習兩分鐘就可以！