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| 超限歸納法 |
超限歸納法又稱超窮歸納法、超限歸納證法，數學中用來證明某種類型命題的重要方法。
簡介
超限歸納法（transfinite induction）是數學歸納法向（大）良序集合比如基數或序數的集合的擴展。假設只要對於所有的 β < α，P(β) 為真，則 P(α) 也為真。那麼超限歸納告訴我們 P 對於所有序數為真。就是說，如果 P(α) 為真只要 P(β) 對於所有 β < α 為真，則 P(α) 對於所有 α 為真。或者更實用的說：若要證明所有序數 α 都符合性質 P，你可以假定它對於所有更小的 β < α 已經是成立的。通常證明被分為三種情況：零情況：證明 P(0) 為真。後繼情況：證明對於任何後繼序數β+1， P(β+1) 得出自 P(β)（如果需要的話，也假定對於所有 α < β 有 P(α)）。極限情況：證明對於任何極限序數λ, P(λ) 得出自 [P(α) 對於所有 α < λ]。留意，以上三種情況(證明方法)都是相同的，只是所考慮的序數類型不同。正式來說不用分開考慮它們，但在實踐時，因為它們的證明過程通常相差很大，所以需要分別表述。在一些情況下，「零情況」會被視為一種「極限情況」，因此可以使用極限序數來證明。
評價
超限歸納法是數學歸納法的形式之一，可以應用於（大的）良序集，比如說應用到序數或基數，甚至於所有有序的集。超限歸納法可用於證明一個命題P在所有序數中成立：基礎：證明P(0)成立；歸納：證明對於任何一個序數b，如果P(a)在所有序數a<b中成立，那麼P(b)也將成立。後面一步常常分解為兩種情況：能應用和一般的歸納法相似的方法的後繼序數（有直接前驅的序數），（P(a)蘊涵P(a+1)），沒有前驅的極限序數，因此不能用這種方法。顯然，極限序數可以通過將極限序數b看成所有小於b的序數的極限來處理：假定在所有的a<b中P(a)成立，取所有這些情況的極限（通常通過並集公理實現），則證明了P(b)。[1]