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自相似

圖片來自知乎

自相似是近乎或確實和它的一部分相似。

自相似的物件是近乎或確實和它的一部分相似。若說一個曲線自我相似，即每部分的曲線有一小塊和它相似。

自我相似是分形的重要特質。

例如一個圖片

在圖的右邊醒目位置，畫了一個女孩。她正站在畫板前面，神采奕奕，提筆作畫（這是第一個女孩）。

女孩在畫中所表現的，是她自己正在繪畫的情形。所以她的畫中有一位和她一模一樣的女孩，正在擺着與她同樣的姿勢，站在畫板前面，提筆作畫（這是第二個女孩）。

女孩畫中的女孩，所畫的當然也是她自己正在繪畫的情形。所以，在畫中女孩的畫裡，也有一位一模一樣的女孩，以同樣的姿勢，正在作畫（這是第三個女孩）。

畫中女孩畫中的女孩，畫的還是同樣的畫。所以，在畫中女孩畫中女孩的畫裡，同樣有一個一模一樣的女孩，以同樣的姿勢，正在作同樣的畫（這是第四個女孩）。

在繪製同一幅圖形的過程中，如果下一步產生的圖形總是與上一步的圖形相似，那麼這種現象叫做自相似。

這就是一幅自相似的圖形。只要有足夠細的筆，這種自相似的過程可以任意繼續表現下去。

自相似-混沌中的秩序

自相似性在日常生活中隨處可見。雖然身處其中就某一事件孤立來看，總是沒有規律可循的、紛亂的、理不出頭緒的，但是我們縮小一個比例或者放大一個比例進行觀察，立即就會發現宇宙中普遍的自相似性。海洋、大氣層、空間等離子體都具有相似的流體結構，宇宙大尺度結構與人類神經系統具有相似的網狀結構，太陽系與原子具有相似的軌道結構，不同尺度的雲朵、海岸線、山川、河流、植物、生物組織也都具有自相似結構。一個非常明顯但大多數人都不會在意的事實是：我們周圍的所有事物的結構幾乎都是一個尺度相對較大的事物周圍環繞着一些小的事物，且大事物與小事物之間具有自相似性。比如大的星系周圍總有幾個小星系，恆星周圍總有幾顆行星，原子周圍總有一些電子，大的泡沫周圍總有一些小泡沫，城市周圍總有一些小城鎮，商業中心周圍總有一些小店鋪，大公司周圍總有一些小的衛星公司提供服務，管理者周圍總有員工在忙碌，長輩周圍總有小孩子的身影。我們可以看到這是一個普遍現象，不管我們考察的對象是宇宙、星球、國家、社會、公司、家庭都具有類似的結構。這看起來如此明顯，以至於我們不會想到它們與宇宙深層法則之間的深刻聯繫，而這些現象背後正體現了宇宙的一項重要法則---自相似結構。

自相似性其實是分形結構的內在規律，分形是自然界的普遍現象，大到山脈、雲層、海岸線，小到生命體內部的組織、血管、神經，無不充滿了重重疊疊、無窮無盡的分形結構。分形學是由著名的數學家曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的。

所謂分形，就是幾何形狀可以分成多個部分，每一部分都是整體縮小尺寸的形狀近似。科赫曲線（下圖）就是一個典型的例子，它是這樣構造的，第一次變換將1英尺的每邊換成3個各長4英寸的線段，總長度變為 3×4×4/3=16 英寸，對新產生的4條線段執行同樣的變換，每一次變換都將使總長度變為乘以4/3，如此無限循環下去，曲線本身將變成無限長。

分形結構之所以能形成自相似性，是因為整個結構是「統一的規律性」在不同的空間尺度上進行連續刻畫的結果，這種構建模式自發的產生自相似性。我們可以嘗試從純數學上理解這個問題，當我們考察自然數列時，我們就會發現1~10、1~100、1~1000之間具有同樣的相似結構，只不過包含的數越來越多。這種自相似性是由「逢十倍進一」的規律決定的，使用這種循環遞進方式描述數系，就形成了一種分形，我們描述無限時經常藉助這種方式。如果把自然數列的每個數字都連接起來形成一條鏈，如[

123456789101112131415161718192021222324…]，且每個數字被賦予：「單位向量長度」下相對於上一數字的旋轉角度，如1表示旋轉π/10，2表示旋轉2π/10，3表示旋轉3π/10…依次類推，我們將整個鏈展現在二維平面上，就會看到一個清晰的分形結構，不斷的放大下去，永遠呈現出相似又有變化的結構，在細微的層面中逐漸變得果實纍纍