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| 矩陣正定 |
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矩陣正定設M是n階實對稱矩陣， 如果對任一非零實向量X，都使二次型f(X)= X^TMX>0，則稱f(X)為正定二次型，f(X)對應的矩陣M稱為正定矩陣(Positive Definite)。
簡介
正定矩陣在相合變換下可化為規範型， 即單位矩陣。所有特徵值大於零的對稱矩陣(或厄米特矩陣)是正定矩陣。A為實對稱矩陣，若A正定，則以下條件等價1、A正定。2、A的所有順序主子式>0。3、A與單位陣合同，即存在可逆陣C，使A=C^TC。4、A的特徵值均>0。5、存在上三角矩陣R，使A=R^TR，其中R主對角線上的元素均>0。
評價
正定矩陣的轉置有變化嗎？沒有變化，a是可逆的，所以它的特徵值不是0，而換位相乘後的特徵值是原特徵值的平方，所以它一定大於0，所以矩陣是正定的。根據定義，正定矩陣是具有正特徵值的實對稱矩陣。矩陣被分解成幾個簡單矩陣或特徵矩陣的和或積。矩陣的分解方法一般包括三角分解、譜分解、奇異值分解、滿秩分解等。一種將矩陣分解成由其特徵值和特徵向量表示的矩陣乘積的方法。需要注意的是，只有可對角化的矩陣才能進行特徵分解。線性代數中，相似矩陣是指具有相似關係的矩陣。[1]