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皮亞諾曲線

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皮亞諾曲線是一曲線序列的極限，不再是通常定義下的曲線。下文中"曲線"應解釋為"曲線的極限"。只要恰當選擇函數，畫出一條連續的參數曲線，當參數t在0、1區間取值時，曲線將遍歷單位正方形中所有的點，得到一條充滿空間的曲線。 皮亞諾曲線是一條連續而又不可導的曲線。

基本信息

中文名; 皮亞諾曲線

外文名; Peano Curve

提出者; 皮亞諾

維度; 2維

特點; 充滿空間

可導性; 連續而又不可導

觀點提出

皮亞諾(Peano)曲線是一條能夠填滿正方形的曲線。在傳統概念中，曲線的數維是1維， 正方形是2維。

1890年，意大利數學家皮亞諾(Peano G)發明能填滿一個正方形的曲線，叫做皮亞諾曲線。皮亞諾對區間[0，1]上的點和正方形上的點的對應作了詳細的數學描述。實際上，正方形的這些點對於t∈[0,1],可規定兩個連續函數x=f(t)和y=g(t)，使得x和y取屬於單位正方形的每一個值。後來，希爾伯特作出了這條曲線。

一般來說，一維的東西是不可能填滿2維的方格的。但是皮亞諾曲線恰恰給出了反例。

這說明我們對維數的認識是有缺陷的，有必要重新考察維數的定義。這就是分形幾何考慮的問題。在分形幾何中， 維數可以是分數叫做分維。

此外皮亞諾曲線是連續的但處處不可導的曲線。因此如果我們想要研究傳統意義上的曲線， 就必須加上可導的條件，以便排除像皮亞諾曲線這樣的特例。

一些不同觀點

1877年，數學家康托提出了從一維到二維的一一映射，後來這個結論得到了另外一些數學家的支持，包括皮亞諾、希爾伯特等。但也有一些數學家對此持懷疑或反對的態度。最著名的就是與康托一起對實數做出定義的數學家狄特金(又譯戴德金)，他對康托的結論一直持反對意見，並指出了康托最初證明中的一些錯誤。另外，後來數學家Juergens又證明了，如果平面和直線之間的對應是連續的，則不可能是一一對應。

下面一種觀點認為，皮亞諾曲線等是和實數的不可數性相矛盾的。

1 十進制數和羅素悖論

關於康托的集合論，羅素於1901年提出了一個悖論，指出一個包含自己的集合將導致邏輯上的混亂。分析發現，在康托對實數的定義中也包含了羅素悖論。康托對實數的定義是[1]:

"1872年，康托在一篇文章中，用一章的篇幅專門討論實數問題，特別是無理數問題。他為自己提出了一個目標，在不預先假定無理數存在的條件下，建立一個令人滿意的無理數理論。顯然，全體的有理數集合為此提供了一個基礎。康托用有理數的無窮序列來定義無理數及它們之間的順序關係。

定義:無窮序列

(2.12) a1,a2,...,an,...

稱為一個基本序列，如果對任何有理數值e，都存在一個整數N，使得對任何n> N和任何m，有

{an+m - an} < e.

如果序列是一基本序列，則說它有一個確定的極限，假定用b來表示。於是每個基本序列就有一個確定的符號b與之相聯。康托使用"符號"一詞來形容b的作用。

常數序列顯然是一個基本序列，並恰好以a為極限。

康托希望將有理數域A的算術運算推廣到這些新數b構成的域B上，並放棄"符號"一詞改用"數"稱呼B中的元素。

儘管"數"的術語的使用十分自然，但仍有關於由A生成的域B的性質及它們的存在性的哲學問題。康托認為B中的數本身是無意義的，它們只具有一種與序列相聯繫的客觀實在性。顯然這種實在性不同於域A中有理數所具有的客觀性。一個B中的元素被考慮，僅僅為了某種方便之故，僅僅由於它代表了一個基本序列。"

分析上面對實數的定義，每個實數域中的數實際上是一個有理數的序列，所以有:

⑴對實數域的任一有理數a，a按定義等於一序列;

⑵對實數域的任一無理數b，b按定義等於一序列{b1,b2,...,bn,...}。

從集合論的觀點來看，由於數的序列對應的是數的集合，而不是數元素本身，即使形如⑴中只有一個元素的序列對應的也應該是一個數的集合。上面對有理數的定義顯然構造了一個包含自指的集合:數a等於一個集合，這個集合中有一個元素，就是數a本身。這樣的集合包含了羅素悖論[2]。

雖然在康托對實數的定義中，對無理數的定義部分卻沒有包含類似的悖論。這裡仍將認真討論康托對無理數的定義，因為這個定義常被理解成包含羅素悖論的形式出現，第二節將舉出一些包含這種錯誤的例子。

在定義中，無理數代表的基本序列中的元素都是有理數，顯然按定義無理數作為極限點不在無窮序列里。可以用歸納法證明，無理數作為極限點不在基本序列里有數學依據，而不是出於人為的定義。例如，對於π的序列:

= {3.1， 3.14， 3.141， 3.1415， 3.14159， 3.141592， 3.1415926， ……}

令m表示0到9的整數，把序列中的一個小數表示成其前一個小數與尾數相加的形式(如3.14 = 3.1 + 0.04)，則:

⑴ P1 = 3.1，為一個有理數;同時10^1為整數，而m/10^1為兩個整數相除的形式，按有理數的定義兩個整數相除商為一個有理數;

⑵ 對任意屬於自然數的n，設m/10^n為有理數，則m/10^(n+1)，亦為兩整數相除，所以m/10^(n+1)為有理數;

設Pn為有理數。則P(n+1)為Pn+m/10^(n+1)的形式，為兩個有理數相加，所以P(n+1)為有理數;

⑶ 所以序列中任意元素為有理數。歸納法證明的是這個無窮序列中所有元素的性質，所以這個序列的極限點作為一個無理數不在序列里。

無理數對應的基本序列中包含無窮多個元素，討論能不能多加一個極限點似乎有點詭辯。但這涉及到有理數域中的四則運算是否封閉，以及對無理數的定義是否包含羅素悖論。而且，由於所有無理數都是有理數集的極限點[3]，分清基本序列和極限點的關係可以避免把有理數集當成實數集。

這一節分析了康托對實數的定義，指出在實數域中對有理數的定義包含了羅素悖論。同時指出，按康托的定義，無理數作為基本序列的極限點並不在基本序列中。

下面將討論皮亞諾曲線等一維到二維映射的曲線。因為一維與二維之間的關係，與可數無窮多與不可數無窮多的關係類似;或者說可以通過作截線的方法，把一維與二維之間的關係轉化為可數無窮多與不可數無窮多的關係，所以在進一步討論前先總結一下可數無窮多與不可數無窮多的關係:

⒈ 可數無窮多和不可數無窮多之間不能建立一種一一對應的關係;

⒉ 康托在從包含可數無窮多元素的集合出發，用取極限的方法去定義包含原始集合且自己元素為不可數無窮多的新集合時，在對前者集合的元素的定義包含了羅素悖論。

第二節將討論皮亞諾曲線有沒有覆蓋整個平面，第三節將討論皮亞諾曲線有沒有建立一種從一維到二維的映射，第四節將討論康托的從一維到二維的映射。

2 皮亞諾曲線和實數的不可數性

1877年，康托給出了從一維到二維的一一映射[1]。皮亞諾和希爾伯特分別於1890年和1891年給出了一種可以充滿整個平面的曲線[4][5]。下面先討論皮亞諾曲線。

皮亞諾曲線由一個大正方形分成9個小正方形，再不斷的把每個小正方形分成更小的正方形得到的邊組成的曲線，如圖一⑴~⑶所示。這實際上是一個遞歸過程。也可認為皮亞諾曲線是在上面基礎上把小正方形的中心點連接起來得到的曲線，如圖一⑷所示。這兩種表示方法在本節的討論中並沒有區別，在下面的過中位線作截線的過程中可以發現，這兩種曲線與截線的交點是一一對應的。為了方便在坐標系中討論，這裡採用的是圖一⑴~⑶所示的形式。

Image:Peano_Curve.JPG

圖一，皮亞諾曲線

過原正方形的中位線作一條數軸，並假設數軸上位於正方形內的區間是[0,1]。然後用遞歸過程生成皮亞諾曲線，並在遞歸過程中按產生的先後順序對皮亞諾曲線和中位線的交點進行編號。這樣每個交點都有一個編號。如果皮亞諾曲線覆蓋了整個正方形的話，那麼交點應該覆蓋了整條中位線。因為線段上的點和[0,1]之間的實數有一一對應關係，而標號和自然數集有一一對應關係，所以這就意味着[0,1]之間的實數和自然數的一個一一對應。這和實數的不可數性是相矛盾的。顯然問題的焦點是，皮亞諾曲線與中位線的交點是覆蓋了整個[0,1]區間，還是只覆蓋了[0,1]中的有理數點。

下面在坐標系中進一步討論這個問題。為了方便在十進制中討論，假設每個大正方形分裂成100個小正方形，即每個正方形分裂後與其中位線產生9個交點。把第一次分裂得到的交點記為s1，把第二次分裂得到的交點記為s2……這就得到了一個序列{s1,s2,...,sn,...}，序列中任一元素sn又為一個數的序列:

s1:

0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9

s2:

0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09

0.11,0.12,0.13,0.14,0.15,0.16,0.17,0.18,0.19

......

0.91,0.92,0.93,0.94,0.95,0.96,0.97,0.98,0.99

s3:

0.001,0.002,0.003,0.004,0.005,0.006,0.007,0.008,0.009

0.011,0.012,0.013,0.014,0.015,0.016,0.017,0.018,0.019

......

如果皮亞諾曲線和中位線的交點覆蓋了整條中位線的話，那麼序列{s1,s2,...,sn,...}也就覆蓋了實數區間[0,1]。又由於序列中的每個元素sn包含有限個數，所以把每個元素代表的數序列代入後，序列{s1,s2,...,sn,...}就等於一個[0,1]區間中所有的實數組成的一個序列。這和實數的不可數性是矛盾的。

有一點需要明確一下，就是無窮序列的構造過程以及對無窮序列取極限的過程的關係。我們已經知道[0,1]區間中有理數有可數無窮多個，可以用一個遞歸的無窮過程來產生這些有理數;而[0,1]區間中的無理數都是有理數集合的極限點。但有理數集和無理數集顯然是不一樣的。這就是說，構造有理數集的無窮過程並不包括取極限的過程，不能認為取極限的過程一定包含在無窮過程中。否則，按第一節的論述，對無理數的定義將包含羅素悖論。事實上，許多宣稱找到了實數可數證據的例子都是犯了認為無窮過程一定包含取極限過程的錯誤。

對皮亞諾曲線，取極限後得到的圖形是一個完整的正方形。由於對集合取極限操作的過程不能保持一一對應關係，所以這並不足以證明皮亞諾曲線建立了一種從曲線到平面的一一映射。在取極限前，皮亞諾曲線與中位線的交點包含了[0,1]中所有有理數，這時候皮亞諾曲線完成的是構造基本序列的過程，圖形是曲線但不是一個平面;取極限後，圖形將覆蓋整個平面，這時中位線與圖形的交點是整條線段。因為我們知道在取極限前，圖形與中位線的交點是可數無窮多個，取極限後交點是不可數無窮多個，這兩者之間並不能夠建立一一對應關係，所以除非有特別的論證，否則不能從取極限前是曲線而取極限後是平面就得出曲線和平面有一一對應的關係。

事實上，由於產生皮亞諾曲線的過程是遞歸過程，而遞歸過程與自然數是一一對應的，在理論上這個過程產生的圖形與中位線之間的交點只能是可數無窮多，而不可能是不可數無窮多[3]。

這樣，對於平面上坐標為無理數對的點，如(sqrt⑵-1，sqrt⑵-1)，既不能被皮亞諾曲線的橫邊所覆蓋，也不能為縱邊所覆蓋。

這節論述了皮亞諾曲線沒有覆蓋整個平面。這個問題的焦點在於定義無理數的基本序列有沒有包括極限點:如果包括了極限點，那麼構造了基本序列就等於所有有理數和無理數;如果不包含極限點，那麼構造了基本序列等於只構造了有理數。

3 希爾伯特曲線的編碼映射

上節論述了皮亞諾曲線沒有覆蓋整個平面。那麼能不能仿照康托從有理數集出發去定義無理數集的例子，藉助皮亞諾曲線來建立一種從曲線到平面的一一映射呢?希爾伯特曲線中的編碼映射就是這樣的一個例子。

希爾伯特曲線通過把一個正方形不斷大的分成4個小正方形，再把小正方形的中心點連接起來得到的曲線，即希爾伯特曲線[6]。把第一次分裂得到的曲線稱為H-1，第二次分裂得到的稱為 H-2，……;把H-1與y軸的交點(也即H-1的中點)稱為H-1(1/2)，H-2與y軸的交點稱為 H-2(1/2)……。如圖二所示。注意，為了討論方便，上一節討論的是小正方形的邊組成的曲線，這節討論的是連結小正方形中心得到的曲線。由於正方形的邊和中位線有一一對應關係，這兩種表示方法在一定程度上是相同的。

圖二，希爾伯特曲線

在希爾伯特曲線的編碼映射中，對分成的4個小正方形按順時針順序進行二進制編碼，為0.00，0.01，0.10，0.11。後面的分裂同樣在前面編碼的基礎上加上2位二進制小數，如第一格第二次分裂後，得到的4個小正方形編碼為0.0000，0.0001，0.0010，0.0011。這樣就給正方形中的每個點一個[0,1]中的編碼，也就是完成了從1×1的平面到[0,1]區間的一一映射。

分析這種編碼方法，實際上也是用收斂的點序列來定義一個點，例如正方形的中心點，是由序列{H-1(1/2)，H-2(1/2)，...,H-N(1/2)，...}來定義的，也就是正方形中心點對應在[0,1]中的為1/2。按照第一節的論證，這種方法在定義基本序列中的點時要發生錯誤。如果嚴格按極限的定義，上面序列中的所有元素，H-1(1/2)，H-2(1/2)，...,H-N(1/2)，...，這些點都是常數序列(即它自己一個元素組成的序列)的極限點，也都該對應於[0,1]中的為1/2。這就是說，1/2在平面中對應的不是一個點，而是有無窮多個點。

另外，可以用反證法證明，希爾伯特曲線並沒有建立一種從曲線到平面的一一對應關係。假設曲線的坐標區間為[0,1](即假設曲線的長度為1)，並對於正方形中位線y軸上的某一點p，有曲線上的數x屬於[0,1]映射到p點。由於希爾伯特曲線是左右對稱的，則立即可以得到數(1-x)也映射到p點。又由於這種映射是一一映射，所以有x=1-x=1/2，即與1/2對應的是y軸上的一條線段，這與前面的一一對應假設矛盾。

這節討論了無法利用希爾伯特曲線的編碼映射來完成從1×1的平面到[0,1]區間的一一映射。

4 康托的從一維到二維的映射

康托提出了一個從一維到二維的一一映射[1]:

假設y為一個實數，且:

y = 0.a1 b1 a2 b2 …… an bn ……

則令:

x1 = 0.a1 a2 …… an ……

x2 = 0.b1 b2 …… bn ……

這樣就完成了從y到(x1，x2)的映射。

實際上，上面的證明過程使用了遞歸方法。正如第一節所論述，遞歸方法所論證的只能是基本序列中的元素，而基本序列的極限點不一定包含在基本序列里。所以這個證明只對有理數有效。

5 小結

這種觀點指出，在康托用有理數的基本序列去定義實數中，實數域中的一個有理數a按定義等於序列，這實際上構造了一個包含自指的集合:數a等於一個集合，這個集合中有一個元素，就是數a本身。這樣的集合包含了羅素悖論。本文還分析了皮亞諾曲線等一維到二維映射的例子，指出它們實際上也包含了上述悖論。