點集拓撲學檢視原始碼討論檢視歷史
| 點集拓撲學 |
點集拓撲學（Point Set Topology），又名一般拓撲學（General Topology)，是用點集的方法研究拓撲不變量的拓撲學分支，主要處理的基本概念是：「連續性」，「緊性」和「連通性」。
簡介
點集拓撲學產生於19世紀。G.康托爾建立了集合論，定義了歐幾里得空間中的開集、閉集、導集等概念，獲得了歐幾里得空間拓撲結構的重要結果。1906年M.-R.弗雷歇把康托爾的集合論與函數空間的研究統一起來，建立了廣義分析，可看為拓撲空間理論建立的開始。F.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓撲空間，標誌着用公理化方法研究連續性的一般拓撲學的產生。隨後波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做了系統的研究。經過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓撲學趨於成熟，成為第二次世界大戰後數學研究的共同基礎。歐氏空間中的點集的研究，例如，一直是拓撲學的重要部分，已發展成一般拓撲學與代數拓撲學交匯的領域，也可看作幾何拓撲學的一部分。50年代以來，即問兩個映射，以R.H.賓為代表的美國學派的工作加深了對流形的認識，是問兩個給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數及連續統的研究，習慣上也看成一般拓撲學的分支。
評價
拓撲學是把那些很樸素但又很基本的圖形的集和直觀性質，進行數學化的結果。在漫長的歷史過程中，人們用很多種數學方法來表達這種幾何圖形的直觀性質，直到康托提出了集合論之後，以集合論為基礎，配之以映射概念，拓撲學有了根本性的發展。從歐拉的七橋問題，地圖着色問題，Jordan曲線定理等知道平面上簡單閉曲線將平面分成兩部分。高斯研究扭結和二重積分的聯繫等是當時研究的一些孤立問題，而後成為拓撲學的有關問題。再到黎曼發現了多值函數解析函數可轉化為閉曲面上的單值函數，並得出閉曲面的拓撲分類。拓撲學都有着很深刻的發展。拓撲學是幾何學的分支，且是與歐氏幾何不同的分支。研究對象是一般的幾何圖形（拓撲空間），即研究幾何圖形的拓撲性質，而且對應的歐氏幾何圖形在正交變換下的不變性和不變量。拓撲學研究更一般的圖形在彈性變形下的不變性和不變量，在而在近代拓撲學發展為幾個重要的分支：點集拓撲；代數拓撲；微分拓撲；幾何拓撲。這裡研究的是點集拓撲學。何為點集拓撲？它是數學的拓撲學的一個分支，它研究拓撲空間以及定義在其上的數學構造的基本性質。[1]