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汪萊

汪萊(1768-1813),字孝嬰,號衡齋,安徽歙縣瞻淇人。清代著名數學家,著有《衡齋算學》。[1]

簡介

汪萊,字孝嬰,號衡齋,歙縣瞻淇人。數學、天文、經學、訓詁學、音韻學和樂律等都有很深造詣,尤以數學成就最著。嘉慶十一年(1806),為治理黃河水害,受命測量雲梯關(今江蘇淮安縣東北200里)、六塘河入海口高程。嘉慶十二年,以優貢生入京,考取八旗官學教習,入史館纂修《天文志》、《時憲志》。嘉慶十五年,調任池州郡石埭縣訓導,因廉潔自奉,盡心辦學,卒於任上。池州郡守撰文勒碑於明倫堂,表彰汪萊的辦學功績。

汪萊在P進位制、方程論、弧三角術和組合計算方面取得重要研究成果。當時普遍採用十進位制,汪萊認為不必「盡立數於十」,對於具體問題,究竟採用何種進位制為宜,原則上應當「審法與數相宜而已」。較之本世紀40年代隨着電子計算機的出現才興起的P進位制研究早150餘年。中國古代方程,多側重解法(開方術)及布列法(天元法),只求解方程的一個正根,對於方程根的個數及性質認識模糊。汪萊指出,二次方程有二根,並論證了三次方程正根與係數的關係和三次方程有正根的條件。汪萊對於方程的認識、根的存在與判別的研究,是我國方程理論研究的發端。汪萊說「弧三角之算,窮形固難,設形亦難,稍不經意,動乖其方」。他分別論證了已知三邊,三角,二角夾邊或二邊夾角,二角對一邊或二邊對一角等各種情況下有解的條件,其成就在梅文鼎戴震、焦循諸家之上,汪萊將組合計算公式建立在中國傳統的賈憲三角形規律上,論證了組合運算及其若干性質。所得出的遞兼的定義、性質、計算公式以及恆等式均與現代組合運算結果相同,發現了組合規律,更賦予古老的賈憲三角形以組合的意義。

汪萊治學嚴謹,「人所言,不復言。所言皆人所未言與人所不能言」。主要著作有《衡齋算學》7冊、《馨氏倨句解》1冊、《參兩算經》、《校正九章算術及戴氏訂訛》、《四邊形算法》、《十三經註疏正誤》、《禹貢圖考》、《說文聲類》、《樂津逢源》、《衡齋詩集》等。[2]

史傳記載

汪萊,字孝嬰,號衡齋,歙縣人。年十五,補博士弟子。弱冠後,讀書於吳葑門外,慕其鄉江文學永、戴庶常震、金殿撰榜、程徵君易疇學,力通經史百家及推步歷算之術。嘉慶十二年,以優貢生入都,考取八旗官學教習,會御史徐國楠奏請續修天文、時憲二志,經大學士首舉萊與徐准宜、許澐入館纂修。十四年,書成。議敘,以本班教職用,選授石埭縣訓導。十八年,應省試,得疾歸,卒於官,年四十有六。先是十一年夏,黃河啟放王營減壩,正溜直注張家河,會六塘河歸海。兩江督臣奉上命,查量雲梯關外舊海口與六塘河新海口地勢高下,延萊測算,蓋其精算之名,久為官卿所知。曾制渾天、簡平、一方各儀器觀測。

郡人巴樹谷最友善,客江、淮間,又與焦孝廉循、江上舍籓、李秀才銳,辯論宋秦九韶、元李冶立天元一及正、負開方諸法。天性敏絕,極能攻堅,不肯苟於著述。凡所言,皆人所未言,與夫人所不能言。

嘗以古書八線之制,終於三分取一,用益實歸除法求之,其一表之真數,僅得十之二。因悟得五分之一通弦與五分之三通弦交錯為三角形,比例立法,以取五分之一之通弦,而弦切之數益密。梅氏環中黍尺,有以量代算之術,惟求倚平儀外周之兩角,而縮於內半周之角未詳。其法較易,因立新術,量取不倚外周之角度,而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆積法,不及三乘方以上,又復推而廣之,自三乘、四乘以上之尖堆,皆可由根知積。並及諸物遞兼之法,以補古九章所未備。

又糾正梅文穆公句股知積術,及指識天元一,正、負開方之可知、不可知。其糾正句股知積術也,文穆赤水遺珍稱:「有句股積及股弦和較求句股,向無其術,苦思力索,立法四條。」其門人丁維烈又造減縱翻積開三乘方法,文穆許之。萊謂:「句股形等積、等弦和,帶縱立方形等基、等高闊和,皆有兩形互易。如句二十,股二十一,弦二十九,句弦和四十九,句股積二百一十。若句十二,股三十五,弦三十七,句弦積亦四十九,句股積亦二百一十。設問者暗執一形,則對者交盲兩數。梅、丁諸公法成而不可用,蓋兩句弦較,與一句弦和,恆為連比例之三率。其兩句弦較,即首、末二率;兩較減一和之餘,即中率;而句弦和必為三率亻並。遂創立有兩積相等、兩句弦和相等、求兩句股形之法。以四倍句股積自乘,句弦和除之,為帶縱長立方積。以句弦和為縱,開得數為兩句弦較之中率,自乘為帶縱平方積。又以中率與句弦和相減為長闊和,求得長闊兩根為兩句股較,用求兩句股形各數。又同積之邊,彼此可互,三次之乘,先後可通,故四倍句股積自乘,即兩形之倍句相乘為底,兩形之股相乘為高,即猶以中末乘首。中化為中率,再乘為立方三率,亻並為帶縱。由是推得立方形兩高數恆為首末二率,高闊和恆為三率,亻並數與等積、等弦和之兩弦較及弦和絲毫無異。如高九闊十,高闊和十九,立方積九百。若高四闊十五,高闊和亦十九,立方積亦九百,其數莫不由兩形相引而出。故其法即命積為帶縱長立方積,以高闊和為所帶之縱。用帶縱長立方法開得本方根,為兩形高數之中率。與高闊和相減,餘為帶縱之平方長闊和。中率自乘,為帶縱平方積。用帶縱平方長闊和法開之,得長闊一根,為兩形之兩高數。兩高與和相減,為兩闊數。」

其指識正、負開方也,「元李冶傳洞淵九容術,撰測圓海鏡、益古演段,以明天元如積相消,其究必用正、負開方,互詳於宋秦九韶數學九章。梅文穆公雖指天元一為西人借根方所由來,而正、負開方則未有闡明者。元和李秀才銳特為讎校,謂少廣一章,得此始貫於一。好古之士,翕然相從。萊獨推其有可知、有不可知。如測圓海鏡邊股第五問『圜田求徑二百四十步與五百七十六步共數』,而李仁卿專以二百四十為答。數學九章田域第二題『尖田求積二百四十步與八百四十步共數』,而秦道古專以八百四十為答。乃自二乘方以下,縷析推之,得九十五條。凡幾根數為帶縱長闊較則可知,為帶縱長闊和則不可知。又推得幾真數少,幾根數又多,幾平方與一立方積等多少雜糅,和較莫定。立法以審之,以幾平方數用幾立方數除之,得數乘幾根數,以較幾真數。若少於真數,則以幾平方為高闊較,是為可知。若多於真數,則或幾平方為通分法,三母總數、幾真數為三母維乘之共數,幾根數為通分之共子,如二、如六、如十二。設真數一百四十四,少二百八,根數多二十,平方積與一立方積相等,則三數皆同,是為不可知。」

蓋以一答為可知,不止一答為不可知。故李秀才銳跋其書,括為三例以證明之。謂:「隅實同名者不可知;隅實異名,而從廉正負不雜者可知;隅實異名,而從廉正負相雜,其從翻而與隅同名者可知,否則不可知。隅實異名,即帶縱之長闊較也,較僅一答;隅實同名,即帶縱之長闊和也,和則不止一答。」銳以隅實同名、異名,明一答與不止一答;萊以長闊、和較,明可知、不可知,其義一也。著有衡齋算學七冊,考定通藝錄磬氏倨句解一冊。

生平事跡

汪萊(1768——1813),字孝嬰,號衡齋。安徽歙縣人。弱冠之年父親逝世,遂隻身去蘇州,於葑門外設館,以維生計。汪萊天資敏絕,有早慧之譽,一些重要論著多成稿於其青年時期,謂其「其學由自得,不假師授」(民國《歙縣誌·卷七》),或與其刻苦自厲有關。汪萊有學有識,多才多藝,除天算外,還通曉經史、釋老及音韻、訓詁、樂律、金石之學,工篆書,亦能詩,一生以設館課徒為業,雖曾參與編輯國史館《天文志》、《時憲志》,書亦不過授與一縣城之訓導而已。

汪萊的故鄉歙縣乃是徽派樸學的重要陣地,其青年時期就仰慕同鄉江永、戴震程瑤田、金榜之卓著成就,遂致力於通曉經史百家及推步歷算之術。乾隆五十七年(1792),汪萊在故里製成渾天、簡平等儀器,用以觀測天象。同年,撰寫成以闡述第谷體系的行星及日月運行規律的《覆載通幾》,這是一部天文學著作,其中一些示圖是依靠幾何定理來作出的說明,創立了天算結合的研究模式,殊為難得。嗣後又多次前往揚州,設館課徒。蘇、揚是當時經濟文化發達、人文薈萃的地區,汪萊在此得以結識不少知名之士如焦循、李銳等人,特別是與焦循相交,友誼最深。「循稱當時精九數之學者,惟萊及銳。銳善言古人所已言,而闡發得其真;萊善言古人所未言,而引申得其間。銳,精實,如詩之有少陵;萊,超異,如詩之有太白。又稱萊天資敏絕,性能攻堅,極繁賾幽秘,他人翻復再三,未能理其緒。而萊目一二過,已貫達其條目……」 焦循作為汪萊、李銳的好友,對二人深知有素,故所作評論,最為可信,故詳引之(李銳,出吳派大家錢大昕門下,數學造詣之高享譽學林)。嘉慶六年(1801),汪萊又由歙縣來到揚州,這次是應聘在翰林秦恩復家教館。秦氏五笥仙館貯有大量藏書,又時有名流學者前來聚會或造訪。汪萊在這裡認識了張敦仁、江藩、錢獻之等學者。同年秋天,汪萊離開揚州去六安,後二年返回揚州。嘉慶八年(1803),張敦仁來任揚州知府,聘李銳為他當幕賓。這時,汪萊、焦循、凌廷堪沈欽裴等人都在揚州,彼此切磋學問,舊友新交,地靈人傑,營造了相當活潑歡快的學術研究氛圍。嘉慶十年(1805),夏鑾來到徽州,擔任新安訓導,到任後四處訪賢,適汪萊返鄉,舉薦他參加歲試,成廩生,後又薦舉為優行督學。夏鑾又命門生胡培翬、長子夏炘、四子夏燮向汪萊學習算學。次年兩江總督奉旨測量黃河新舊入海口地勢,延請汪萊主持,完成了測算任務。嘉慶十三年(1808),汪萊以優貢生赴北京,大學士祿康薦修國史天文、時憲二志,後授石埭(今石台)訓導,時考制樂舞等器17宗,158件。嘉慶十八年(1813)卒於任職,身後蕭然,石埭百姓出資送其歸葬於故鄉歙縣之梅嶺。

汪萊畢生致力於數學研究,其算學造詣曾為當時的同行專家所認可,焦循《加減乘除釋》、張敦仁《輯古算經細草》都曾請汪萊為之作序,其序文今收載在其最有代表性的著作《衡齋文集》之中,其中對球面三角形的解法作了比較詳細的論述,而之前梅文鼎、江永、戴震、焦循都曾為此撰文論述,然而都不及汪萊本書提出的「量角度新法」來得系統和詳審。汪萊提出在求解方程時方程根不只有一正根,亦有負根,並設96道例題加以證明,是中國數學史上關於方程根研究的一個突破。汪萊對於其他諸如弧三角形、勾股形、 平圓形、弧矢關係、代數方程理論等專題都著有詳盡的闡述。汪萊終生不得志,但始終堅持治學,刻意求新,研究算學往往參用西法,其主要著述流傳至今,使後世在二百年後的今天,還得以窺見其才華和風采。

詳細介紹

早歲維艱

汪萊祖上以「詩書繼世,孝友傳家」為家訓,其父汪昌早失親,就此家道中衰。但汪昌博覽群書,能詩善文,並曾中舉人,撰有《靜山堂詩文集》。 1768年9月27日,汪萊就誕生在這樣一個貧寒的讀書人家庭,其出生地在歙縣瞻漠(今稱記)之靜山堂。

汪萊自幼秉承文學,6歲能詩,14歲入庫。當時款縣水、旱不斷,家中生活更加艱辛。有一次汪萊奉父母命進城典當衣 歸途遭惡犬咬齧,在腿上留下了深深的傷疤。這種艱難的活環境,鑄就了他日後堅毅、頑強和獨立不羈的個性。

舌耕生涯

1788年,汪昌去世,汪萊也開始離家謀生。這一年他剛滿20歲,首先來到蘇州,在葑門外教館。在此期間,汪萊結識了著名學者焦循,並開始研讀《梅氏歷算全書》和《數理精蘊》等數學著作。1792年,汪萊返歸故里,在家中自製渾儀、簡平儀等並用它們來觀測天象,這一期間他完成了一部名為《參兩算經》的最早的數學作品。1796一1798年,汪萊先後與自己的同鄉好友巴樹谷、江玉討論數學,完成《弧三角形》和《勾股形》兩部書稿。 1789年,巴樹谷將此兩書合為一帙刊行,取名《衡齋算學》,這就是汪萊數學著作的最早刊本。同年汪萊鄉試不第,巴樹谷適有失子之傷,二人「移其情」於數學,「演得三干言」,這就是後來成了《衡齋算學》之三的《平圓形》。l799年,汪萊又應親戚汪應埔之請「構難題數端往諸算學博士」,此即又一篇《弧三角形》,連同舊著《遞兼數理》一道,後來成為《衡齋算學》之四。

1801年,汪萊由歙縣來到揚州,在翰林秦恩復家教館。秦家藏書頗豐,當時的揚州又是學士名流薈萃的中心,汪萊在此讀到了宋元數學家秦九韶、李冶的著作,又得以與張敦仁、江藩、錢獻之、李銳等相識。在對秦、李算書進行研究的基礎上,汪萊寫成了關於方程論的《衡齋算學》之五。這年秋天,汪萊離揚州赴六安,途中撰成《衡齋算學》之六。年底,汪延麟在揚州為他刊刻了六卷本的《衡齋算學》。

汪萊與乾嘉時代的另一個大數學家李銳初次會面於1800年。《衡齋算學》之五寫成後,他曾分送數人徵詢意見;其中唯有李銳理解他的用心,贊為「窮幽極微,真算氏之最」李銳又作跋文一篇,後來也被收入《衡齋算學》之中。 1804年,李銳應知府張敦仁之邀來揚州充任幕賓,當時焦循也在揚州,汪萊與他們二人交往頻繁,時人稱他們為「談天三友」。在此期間,汪萊繼續鑽研方程論,撰成《衡齋算學》之七。至此,汪萊的主要數學著作都已完成。

1805年,名學者夏鑾調任新安訓導,到歙縣後聞知汪萊賢名,立即前往造訪。兩人「一見稱莫逆,與語終日」,夏蠻稱汪萊為「天下奇才」,並令門生胡培惲子夏忻、夏曼從汪學習數學。1806年,汪萊曾應兩江總督鐵寶之請主持黃河新、舊入海口的高程測算,功成後依然返歙。1807年在歙縣以優行第一的成績考取八旗官學教習,被選調入京參與國史館的修歷工作。在北京期間,汪萊讀到明安圖《割圓密率捷法》遺稿,對自己當年關於割圓分弧的作品有所檢討。國史館的工作完成後,汪萊於1811年被分配到安徽石埭縣任縣學教渝。

潦倒一生

汪萊志大才高,行為舉止幾近狂放,因此常與社會習俗衝突。他年輕時曾賦詩稱「我亦鄉間肆志人」, 「興來大叫鬼神驚」。鄉試落第後自雲「抱下而泣」。夏忻描繪他的外貌為「長身玉立,鬚眉秀髮」,而他的氣質為「跪磊不平之氣,往往慷慨悲歌。」汪萊生前,學術界除焦循、李銳、夏蠻等少數人外,多數學者都不能理解他的成就。張敦仁曾譏評他的方程論研究「過苦」,後來又將自己的《開方補記》及搜訪到手的明安圖遺稿對他實行保密。曾與汪萊。、李銳都有交遊的江藩把他們二人的學術爭論加以渲染,說他們因論方程不合「遂如冠仇,終身不相見」,進而批評汪萊「過矣」。稍晚的羅士琳批評他「矯枉過正,未免失於偏。」駱騰風根本沒有理解他的原意,就攻擊他的方程論是「黯黔之詞以欺世」,並以「算學砭愚」為題指名道姓地批評他的著作。種種事實表明,汪萊是被當時以考據相標榜的乾嘉學圈視為異端的人物。

汪萊到石埭後,生活依然清寒。此時他已很少與外界發生聯繫,但遇縣學中有熱心數學的生員,則悉心教誨,不厭其煩。他臨終前幾個月夏鑾曾來看望,見其「顏色憔悴,悄然不樂」,就勸他再度著書;汪萊答道:「今世考據家陳陳相因,不過抄襲前言耳,非所發古人所未發也」。1813年12月4日,貧病交擾的汪萊死於任上。汪萊死後,家中蕭然,囊無餘資,石埭學生百姓感其清廉,輸資送其樞歸故里,葬於歙縣梅嶺之將軍打坐場。

汪萊生前,《衡齋算學》已.出過三種刊本,但都不是足本。他去世後,夏蠻十分關心他的遺稿,特囑長子夏忻與胡培翠加以搜集整理,後得《衡齋遺書》九卷,但長時間未能付樣。1854年,夏蠻四子夏燮調任都陽(今江西波陽)知縣,即從胡培翠後人處訪得《衡齋遺書》稿本,連同《衡齋算學》一道,刊成《衡齋算學遺書》合刻本。《衡齋遺書》個也包括多種數學作品。

主要著作

其主要著述有《參兩算經》、《校正九章算術》、《戴氏訂訛》、《十三經註疏正誤》、《聲譜》、《說文聲類》、《今有錄》、《詩文集》等。 嘉慶三年(1798),巴樹谷將汪萊幾年內所撰的「弧三角形」、「勾股形」書稿各一卷合刻,題名《衡齋算學》。咸豐四年(1854),夏燮訪得《衡齋遺書》稿本,連同《衡齋算學》刊成《衡齋算學遺書》合刻本。

歷史評價

夏鑾見他後,與語終日,臨別,目送之,嘆為「天下奇才」。

夏炘曾記述汪萊的風貌和為人,說他「長身玉立,鬚眉秀髮」,說他「性喜飲,酒酣耳熱,平生硊磊不平之氣,往往慷慨悲歌,聲音激越」。

「孝嬰之學,深妙入微」。

人所言,不復言,所言皆人所未言,與人所不能言。故其著述無多卷,而簡奧似周秦古書。又稱萊於《六經》,務在熟習本文,博通註疏,原始要終,以一知半解為陋。熟於許氏說文》,工篆法,餘事亦為詩歌。性淵穆和易,與人接,無涯岸。有以所著撰相質,必首尾研究再三,否者直乙之,是者為之疏通發明。——汪萊好友焦循

參考文獻

  1. 汪萊. [2019-03-20]. 
  2. 汪萊. [2019-03-20].