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| 有補格 |
有補格(complemented lattice)亦稱有餘格，是一種特殊的有界格，在有界格〈L，≤〉中，對於L中的任意元素a，如果存在b∈L，使得a+b=1，a·b=0，則稱元素b是元素a的補元。如果一個有界格的每個元素都至少存在一個補元，則此格稱為有補格。補元是對稱的，如果a是b的補元，則b也是a的補元，也可以說，a和b這兩個元素是互補的，對於任一元素a∈A，可以存在多個補元，也可以不存在補元。
簡介
設<L,≼>是有界格,a,b是L中的兩個元，若a∨b=1,a∧b=0，則稱a是b的補元或b是a的補元，或稱a和b互為補元。一般地說，有界格中的元素不一定有補元，一個元素有補元也不必是唯一的。例如圖1所示的格中，a沒有補元，b有兩個補元，它們是d和c。在圖2所示的格中，每個元素有且僅有一個補元，其中a和a'，b和b'，c和c'，0和1是四對互補的元素。顯然，在有界格中，0是1的唯一補元，1是0的唯一補元。有補格在一個有界格中，如果每個元素都至少有一個補元，則稱此格為有補格(Complemented Lattice)。對於任一元素a∈A，可以存在多個補元，也可以不存在補元。例如，在上圖所示的有界格中，因為d∨c=1和d∧c=0，所以d和c是互補的，但b沒有補元，而a和d都是e的補元。
評價
定理1設<L,≼>是有界格且是分配格，a∈L，若a在L中有補元，則必是唯一的。證明若b和c都是a在L中的補元，則有avb=1，a∧b=0，a∨c=1,a∧c= 0。由於b=c，所以a的補元唯一。因此,有補分配格中毎一個元素有且只有一個補元，於是，若<L,≼>是有補分配格，< L,∨,∧>是它透導的代數系統,則可在L中定義一種「補」的一元送算"－",對L中的任意一個元素a, 表示a的補元，這樣由有補分配格<L,≼>秀導的代數系統也記為<L,∨,∧,－>或<L,∨,∧,－,0,1>,其中0, 1分別是最小元和最大元。定理2 設<L,∨,∧,－,0,1>是有補分配格<L,≼>誘導的代數系統,則對a,b∈L有 =a,證明 由補元的定義可知, a和 是互補的,就是說 的補元是a，所以 =a,由(a∨b)∨(∧)=((a∨b)∨)∧((a∨b)∨)= (b∨(a∨))∧(a∨(b∨)=(b∨1)∧(a∨1)=1∧1= 1和(a∨b)∧( ∧)=(a∧( ∧))∨(b∧( ∧))=((a∧)∧)∨((b∧)∧)= (0∧ )∨(0∧)=0∨0=0可知a∨b的補元位∧,因為有補分配格中任一元素的補元是唯一的, 所以 。同理可證。定義 有補分配格稱為布爾格。[1]