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  最小元

最小元(least element)是一種特殊元素,指偏序集的子集中小於或等於一切元素的元素。與此相關的概念還有,極大元:指偏序集中沒有比它更大的可比較的元素;極小元:指偏序集中沒有與它可比較的更小的元素;最大元:指偏序集的子集中不小於一切的元素。

簡介

一種特殊元素,指偏序集的子集中小於或等於一切元素的元素。令<A,R>是偏序集, ,如果對每一個 都有bRx,則稱b是<B,R>的最小元。對給定的<B,R>不一定有最小元,若有最小元,則是惟一的。<A,R>的最小元稱為零元素,記為0。<B,R>的最小元是<B,R-1>的最大元;反之亦真。最小元是惟一的極小元。偏序集中的一種特殊元素,指偏序集中沒有與它可比較的更小的元素。設<A,R>是偏序集, ,若不存在 ,使得 xRb 且 x≠b,則b稱為<B,R>的極小元。對給定的<B,R>可以有一個或多個極小元,也可以沒有極小元。若a與b是<B,R>的兩個不同的極小元,則 且 。當B為有限集時,<B,R>一定有極小元。偏序集中的一種特殊元素,指偏序集中沒有比它更大的可比較的元素。設<A,R>是偏序集, ,若不存在 ,使得 bRx 且x≠b,則b稱為<B,R>的極大元。對給定的<B,R>可以有一個或多個極大元,也可以沒有極大元。若a與b是<B,R>的兩個不同的極大元,則 且 。當B為有限集時,<B,R>一定有極大元。

評價

易得最大元必是極大元,但極大元不一定是最大元,應注意極大元和最大元的區別。 最大元是B中最大的元素,它與B中其它元素都可比;而極大元不一定與B中其它元素都可比,只要沒有比它大的元素,它就是極大元。對於有窮集合B,極大元一定存在,但最大元不一定存在。最大元如果存在一定是唯一的,但極大元可能有多個請注意極小元和最小元的區別。最小元是B中最小的元素,它與B中其它元素都可比;而極小元不一定與B中其它元素都可比,只要沒有比它小的元素,它就是極小元。對於有窮集合B極小元一定存在,但最小元不一定存在。最小元如果存在一定是唯一的,但極小元可能有多個。[1]

參考文獻

  1. 最小元搜狗