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來自空弦默

無限集合(infinite set)亦稱無窮集合，是一類特殊的集合，它有下面幾種定義：1.不是有限集的集合；2.可與其真子集對等的非空集合 ；3.既不是空集，又不與Mn={1，2，…，n}，n∈N對等的集合。勢最小的無限集為可數集，即與自然數集N對等的無限集，可以證明：1.無限集必含有可數子集；2.無限集減去一有限子集仍為無限集；3.任一無限集與一可數集之並與該無限集間存在雙射。

不可數無限集合

現在我們已經知道自然數集、偶數集、整數集、有理數集均是無窮可數集，那麼實數集合是不是可數集呢？康托在研究集合時得到的一個重要結論就是：實數集不可數。這是康托的偉大發現。 定理7 實數區間(0，1)是不可數的。

無限集合研究的基本方法

當我們面對「無窮」問題時，首先要提醒讀者建立以下幾個基本觀點： 1)有限到無限是從量變到質變；

2)有限集的性質不能推廣到無限，反之亦然；

3)要依靠理性的論證，而不是直觀和常識來認識無限。 判斷兩個有限集合中元素的「多少」，其實仍然是採用「數數」的方法。「數數」的過程其實就是建立「一一對應」的映射的過程。例如：給定集合 ，計算S中元素數目其實就是建立如圖2所示對應關係的過程。

這種方法可以進一步推廣到無限集合。為此我們首先給出「勢」的概念。 定義3 集合的勢是一個用來度量集合所含元素多少的量。對於兩個集合A和B，如果存在從A到B的雙射，就稱A和B是等勢(equipotent)的，記為A～B。集合的勢越大，所含的元素越多。 當A=B時，一定有A～B。我們很快就會看到，反之不一定成立