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對稱群（symmetric group），設X是一個集合（可以是無限集），X上的一個雙射：a:X→X（即是置換）。集合X上的所有置換構成的族記為S(x)，S(x)關於映射的複合運算構成了一個群，當X是有限集時，設X中的元素個數為n，則稱群S(x)為n次對稱群。[1]
對稱群的定義
對稱群是指含置換群為子類的一類具體的有限群。有限集合Ω上全體置換組成的群，稱為Ω上對稱群，記為SΩ或Sym(Ω).由於當|Ω|=|Ω′|=n時，對稱群SΩ和SΩ′是置換同構的，所以也把SΩ記為Sn.Sn的階為n!.一切次數為n的置換群都可以看成Sn的子群.Ω上全體偶置換組成的群稱為Ω上的交錯群，記為AΩ或Alt(Ω)，或An，若n=|Ω|，則An的階為n!/2，它是Sn的指數為2的正規子群。Sn，An這兩個群在置換群理論和抽象群論中占有特殊的地位。這一方面由於對一切n，Sn是n重傳遞群，而當n>2時，An是n-2重傳遞群；另一方面也由於當n≥5時，An為單群，它們是一類重要的有限單群。
設X是一個集合（可以是無限集），X上的一個雙射：a:X→X（即是置換）。
集合X上的所有置換構成的族記為S(x)，S(x)關於映射的複合運算構成了一個群，當X是有限集時，設X中的元素個數為n，則稱群S(x)為n次對稱群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算「·」(稱為「乘法」，運算結果稱為「乘積」)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算「·」構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
置換群
一類具體的有限群.有限集合到自身的一一映射稱為一個置換.有限集合Ω上的一些置換組成的集合，在置換的乘法下所組成的群，稱為置換群.此群的階是有限的.研究置換群的性質和構造的理論稱為置換群論.凱萊(Cayley，A.)證明：任何一個有限群都同構於一個置換群.因此，可以把一切有限群都看成置換群.由於置換群比抽象群更為直觀，而一些數學對象的自同構群是以置換群的面貌出現的，所以，在歷史上對置換群的研究先於對抽象群的研究.著名的伽羅瓦理論就是把高次方程的根式可解性的研究轉化成為對置換群的研究的，事實上，伽羅瓦(Galois，E.)本人就曾得到有關置換群的一些深刻定理。
置換群是指由置換組成的群。n元集合Ω={a1，a2，…，an}到它自身的一個一一映射，稱為Ω上的一個置換或n元置換。
有限群在其形成時期幾乎完全在置換群的形式下進行研究，拉格朗日和魯菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的關於方程可解性的著作里，引進了n個根的一些函數進行研究，開創了置換群的子群的研究，得到「子群的階整除群的階」這一重要結果。魯菲尼在1799年的專著《方程的一般理論》中，對置換群進行了詳細的考察，引進了群的傳遞性和本原性等概念。在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下，柯西發表了關於置換群的重要文章(1815)。他以方程論為背景，證明了不存在n個字母(n次)的群，使得它對n個字母的整個對稱群的指數小於不超過n的最大素數，除非這個指數是2或1。伽羅瓦對置換群的理論做出了最重要的貢獻，他引進了正規子群、兩個群同構、單群與合成群等概念，發展了置換群的理論。可惜他的工作沒有及時為數學界所了解。柯西在1844—1846年間，寫了一大批文章全力研究置換群。他把許多已有的結果系統化，證明了伽羅瓦的斷言：每個有限(置換)群，如果它的階可被一個素數p除盡，就必定至少包含一個p階子群。他還研究了n個字母的函數在字母交換下所能取的形式值(即非數字值)，並找出一個函數，使其取給定數目的值。
置換群的理論(主要指伽羅瓦的工作)在1870年由若爾當整理在他的《置換與代數方程》之中，他本人還發展了置換群理論及其應用。
有限群
循環群的任一直積是有限交換群。反之，任一有限交換群必具有這種形式.特別，其階為素數的所有有限群皆是循環群。
任一有限群(不一定是交換的)同構於一有限集的置換群的一個子群。人們還沒有弄清楚有限群的分類。
非交換的有限群之研究基本上停留在p-群的概念上。這是指其階為一個素數p的冪的有限群.有限群G的所有最大p-子群叫做G的西羅子群；G的所有西羅p-子群都是共軛的，而它們的公共階是能整除G的階的p之最大冪.
具有有限多個元素的群，是群論的重要內容之一。其所含元素的個數，稱為有限群的階。歷史上，抽象群論的許多概念起源於有限群論。有限群可分為兩大類：可解群與非可解群(即單群)。
有限群的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。如何確定可解群和單群是抽象群理論建立後的一個重要發展方向。德國數學家赫爾德在1889年以後的若干年內，詳細地研究了單群和可解群，證明：一個素數階循環群是單群，n個(n≥5)文字的全部偶置換組成的交換群是單群。他還發現了許多其他有限的單群。赫爾德和若爾當還建立了在有限群中的若爾當—赫爾德合成群列和若爾當—赫爾德定理。在19世紀末，德國數學家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數學家伯恩塞德等都致力於可解群的研究。20世紀初伯恩塞德證明的關於pq(p、q是素數)必是可解群的定理，導致了對有限單群進行分類的重要研究。美國數學家湯普森和菲特在20世紀60年代初證明了有限群中長期懸而未決的一個猜想(見伯恩塞德猜想)：奇數階群一定是可解群。它推動了有限群理論的發展。有限單群的完全分類，即找出有限單群所有的同構類，經過上百名數學家約40年的共同努力，終於在1981年得到解決，這是數學史上的一個非凡成就。
特殊的對稱群
正n邊形的所有對稱變換和對稱變換的合成「?」構成它的對稱群，叫做二面體群，記作( Dn，? )，裡面有2n個元素。
對稱群的類型
（1）僅含有恆等變換。
（2）僅含有恆等變換和一個反射變換。
（3）含有n個旋轉變換，而沒有反射變換。〔這樣的對稱群叫做循環群〕
（4）含有n個旋轉變換和反射變換。〔這樣的對稱群叫做二面體群〕