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婆羅摩笈多定理

原圖鏈接

中文名: 婆羅摩笈多定理 外文名: Brahmagupta Theorem 別 名: 布拉美古塔定理 提出者: 婆羅摩笈多 提出時間: 約公元628年 適用領域: 幾何 應用學科: 數學

婆羅摩笈多定理, 若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直於一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。

如右圖，圓內接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，垂足為M。過M做EF⊥BC於點E，交AD於點F。那麼F是AD的中點。

定理定義

若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直於該四邊形一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。這個定理有另一個名稱,叫做"布拉美古塔定理"（又譯"卜拉美古塔定理"）。

∵AC⊥BD，ME⊥BC

∴∠CBD= ∠CME

∵∠CBD= ∠CAD，∠CME= ∠AMF

∴∠CAD= ∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD= 90°，同時∠MAD+ ∠MDA= 90°

∴∠FMD= ∠FDM

∴MF=DF

∴AF=DF，即F是AD中點

F是AD中點

定理推廣

①若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直於對邊。

如上圖，圓內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中點，則FM⊥BC。

過圓內接四邊形兩對角線交點做另一邊的垂線，必過其對邊為一邊，以交點為一頂點的三角形的外心。

幾何證法

∵MA⊥MD，F是AD中點

∴AF=MF

∴∠CAD= ∠AMF

∵∠CAD= ∠CBD，∠AMF= ∠CME

∴∠CBD= ∠CME

∵∠CME+ ∠BME= ∠BMC=90°

∴∠CBD+ ∠BME= 90°

∴EF⊥BC

②在四邊形ABCD中有一點O，若OA•OC=OB•OD且∠AOB+∠COD=π，EF為過O的直線交AD於E交BC於F，則當E為AD中點時，∠EFB＝∠AOB；當∠EFB＝∠AOB時，E為AD中點，在F點上亦有此情形。（廣義婆羅摩多定理）

婆羅摩笈多定理及八點圓

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婆羅摩笈多定理

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  婆摩笈多定理 來自搜狐網

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  婆羅摩笈多定理 來自搜狐網

婆羅摩笈多（Brahmagupta）是七世紀時的印度數學家。今天要介紹的是以他的名字命名的定理——婆羅摩笈多定理。

婆羅摩笈多定理：如果一個圓內接四邊形的對角線互相垂直相交，那麼從交點向某一邊所引垂線的反向延長線必經過這條邊對邊的中點。

定理轉化為圖形語言就是：ABCD為圓內接四邊形，對角線AC和BD垂直相交，交點為E。過點E引AB的垂線EF；延長FE與DC交於點G。則點G是CD的中點。如上圖所示。

因為

∠4=∠1（同弧上的同側圓周角相等）

∠1=∠2（都是∠ABE的餘角）

∠2=∠3（對頂角相等）

所以

∠4=∠3

所以，DG=EG。同理，CG=EG。所以DG=CG，即G為DC的中點。證畢。

八點圓

您一定熟悉九點圓，我在以前講過，您可以在我的公眾號下邊菜單中找到。今天講八點圓，即有八個點，它們共圓。

如下圖所示，ABCD為圓O（圖中綠色）的內接四邊形，它的兩條對角線AC與BD直交，交點為P。過點P分別作直線與四條邊垂直，這四條直線將與四條邊交出八個點：四條邊上的四個垂足E、F、G、H；四條邊的四個中點E'、F'、G'、H'（由於婆羅摩笈多定理），那麼，這八個點共圓（圖中紅色圓O'）。

（1）先看F、H、F'、H'這四點，顯然，由垂直關係，角F'FH'和角F'HH'都是直角，所以，F、H、F'、H'四點共圓，且F'H'是直徑。同理，E、G、E'、G'四點共圓，且E'G'為直徑。下面我們只需證明這兩個圓是一個圓即可。

（2）依次連接四邊中點，所得當然是一個平行四邊形，即圖中的E'F'G'H'（藍色）。但又因為每對相對之邊又都分別與互相垂直的對角線平行，所以，平行四邊形E'F'G'H'是矩形（藍色）。矩形對角線相等且互相平分，所以F'H'=E'G'。它們於點O'處互相平分。

（3）因為上面已證F'H'與E'G'為直徑，因為它們相等且互相平分，所以這兩條直徑是同一個圓的兩條不同直徑。所以，八個點E、F、G、H、E'、F'、G'、H'共圓。