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| 埃爾米特矩陣 |
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中文名: 厄米特矩陣 外文名: Hermitian Matrix 別 名: 埃爾米特矩陣 性 質: 自共軛 學 科: 數學 應用領域: 數理化學 |
厄米特矩陣（Hermitian Matrix，又譯作「埃爾米特矩陣」或「厄米矩陣」），指的是自共軛矩陣。矩陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的共軛相等。埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數的，其特徵值也是實數。[1]
定義
將一矩陣A的行與列互換，並取各矩陣元素的共軛複數，得一新矩陣，稱為厄米特共軛，以A+表之。此厄米特共軛有(AB)+=B+A+的性質。若一矩陣H，其厄米特共軛矩陣H+等於本身H，即H+=H，則矩陣H稱為厄米特矩陣。
n階複方陣A的對稱單元互為共軛，即A的共軛轉置矩陣等於它本身，則A是厄米特矩陣(Hermitian Matrix)。
由定義得知，厄米特矩陣的對角線上各元素必為實數。通常厄米特矩陣並不對稱，除非所有元素均為實數。厄米特矩陣的特殊性質是其本徵值一定是實數。
在物理系統中，其可觀察的物理量(例如坐標、動量、能量等等)，在量子力學中可視為一算符，此算符有對應的本徵向量和本徵值，算符所對應的本徵向量代表物理系統的狀態，物理量發的結果就是本徵值。因此，如用矩陣表示算符，則一定是厄米特矩陣，因為厄米特矩陣的本徵值為實數，所以也是可觀察的量。
性質
顯然，埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數的，其特徵值也是實數。對於只包含實數元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關於主對角線對稱，那麼它也是埃爾米特矩陣。也就是說，實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。
若A和B是埃爾米特矩陣，那麼它們的和A+B也是埃爾米特矩陣；而只有在A和B滿足交換性（即AB=BA）時，它們的積才是埃爾米特矩陣。
可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣
仍然是埃爾米特矩陣。
如果A是埃爾米特矩陣，對於正整數n，
是埃爾米特矩陣。
方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣。
任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示。
埃爾米特矩陣是正規矩陣，因此埃爾米特矩陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味着埃爾米特矩陣的特徵值都是實的，而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交，因此可以在這些特徵向量中找出一組C的正交基。
n階埃爾米特矩陣的元素構成維數為
的實向量空間，因為主對角線上的元素有一個自由度，而主對角線之外的元素有兩個自由度。
如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數，那麼這個矩陣是正定矩陣，若它們是非負的，則這個矩陣是半正定矩陣。
推論
（1）n階厄米特矩陣A為正定（半正定）矩陣的充要條件是A的所有特徵值大於（大於等於）0。
（2）若A是n階厄米特矩陣，其特徵值對角陣為V，則存在一個酉矩陣U，使AU=UV。
（3）若A是n階厄米特矩陣，其弗羅伯尼範數的平方等於其所有特徵值的平方和。
（4）主對角線元素皆為實數的埃爾米特矩陣的特徵值均為實數, 斜埃爾米特矩陣的特徵值為零或純虛數。
對稱矩陣與尼米特矩陣
對稱矩陣與尼米特矩陣是實踐中遇到比較多的矩陣。例如：電路中的許多矩陣，象電阻性網絡中迴路方程的阻抗矩陣圖論中無向圖的鄰接矩陣等。這兩種矩陣的性質與有關定理有許多共同之處。
實數域上的一個階矩陣A，如果A=A'，則稱A為對稱矩陣。例如：
有兩個比較明顯的事實
(1)如果一個厄米特矩陣A的元素都是實數，則`A′=A′，厄米特矩陣就是對稱矩陣。
(2)如果A是對稱矩陣，C是正交矩陣，則C-1AC是對稱矩陣。