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單調性
函數的單調性（monotonicity）也可以叫做函數的增減性。當函數f(x)的自變量在其定義區間內增大（或減小）時，函數值f(x)也隨着增大（或減小），則稱該函數為在該區間上具有單調性。[1]
定義
函數的單調性（monotonicity）也叫函數的增減性，可以定性描述在一個指定區間內，函數值變化與自變量變化的關係。當函數f(x)的自變量在其定義區間內增大（或減小）時，函數值也隨着增大（或減小），則稱該函數為在該區間上具有單調性（單調增加或單調減少）。在集合論中，在有序集合之間的函數，如果它們保持給定的次序，是具有單調性的。
如果說明一個函數在某個區間D上具有單調性，則我們將D稱作函數的一個單調區間，則可判斷出：D⊆Q（Q是函數的定義域）。區間D上，對於函數f(x)，∀（任取值）x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)。或，∀ x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)。函數圖像一定是上升或下降的。該函數在E⊆D上與D上具有相同的單調性。
- 注意：函數單調性是針對某一個區間而言的，是一個局部性質。因此，說單調性時最好指明區間。
- 有些函數在整個定義域內是單調的；有些函數在定義域內的部分區間上是增函數，在部分區間上是[減函數]]；有些函數是非單調函數，如常數函數。
- 函數的單調性是函數在一個單調區間上的「整體」性質，具有任意性，不能用特殊值代替。
- 在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域，解決問題的過程中只能在定義域內，通過討論導數的符號來判斷函數的單調區間。
- 如果一個函數具有相同單調性的單調區間不止一個，那麼這些單調區間不能用「∪」連接，而只能用「逗號」或「和」字隔開。
單調函數
一般地，設一連續函數f(x)的定義域為D，則如果對於屬於定義域D內某個區間上的任意兩個自變量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)，即在D上具有單調性且單調增加，那麼就說f(x) 在這個區間上是增函數。
相反地，如果對於屬於定義域D內某個區間上的任意兩個自變量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，即在D上具有單調性且單調減少，那麼就說 f(x) 在這個區間上是減函數。則增函數和減函數統稱單調函數。[2]
性質
圖象性質
- 函數單調性的幾何特徵：在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。
- 當x1 < x2時，都有f(x1)<f(x2) 等價於 ；
- 當x1 < x2時，都有f(x1)>f(x2) 。
- 如上圖右所示，對於該特殊函數f(x)，我們不說它是增函數或減函數，但我們可以說它在區間 [x1，x2]上具有單調性。
運算性質
- f(x)與f(x)+a具有相同單調性；
- f(x)與 g(x) = a·f(x)在 a>0 時有相同單調性，當 a<0 時，具有相反單調性；
- 當f(x)、g(x)都是增（減）函數時，若兩者都恆大於零，則f(x)×g(x)為增（減）函數；若兩者都恆小於零，則為減（增）函數；
- 兩個增函數之和仍為增函數；增函數減去減函數為增函數；兩個減函數之和仍為減函數；減函數減去增函數為減函數；函數值在區間內同號時，增（減）函數的倒數為減（增）函數。
應用
利用函數單調性可以解決很多與函數相關的問題。通過對函數的單調性的研究，有助於加深對函數知識的把握和深化，將一些實際問題轉化為利用函數的單調性來處理。因此對函數單調性的討論小僅有重要的理論價值，而且具有很好的應用價值。本文結合一些典型例題分析說明函數單調性的應用，如利用函數的單調性求最值、解方程、證明小等式等。
利用函數單調性求最值：求函數的最大(小)值有多種方法，但基本的方法是通過函數的單調性來判定，特別是對於小可導的連續點，開區問或無窮區問內最大(小)值的分析，一般都用單調性來判定。
利用函數單調性解方程：函數單調性是函數一個非常重要的性質，由於單調函數中x與y是一對應的，這樣我們就可把複雜的方程通過適當變形轉化為型如「」方程，從而利用函數單調性解方程x=a，使問題化繁為簡，而構造單調函數是解決問題的關鍵。
利用函數單調性證明不等式：首先，根據小等式的特點，構造一個單調函數；其次，判別此函數在某區問[a,b]上為單調函數；最後，由單調函數的定義得到我們要證明的小等式。