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凡·奧貝爾定理

原圖鏈接

中文名: 凡·奧貝爾定理 外文名: van Aubel's theorem 別 名: 馮·奧貝爾定理、馮·奧貝爾正交線 適用領域: 平面幾何 應用學科: 數學

凡·奧貝爾定理，任意一個四邊形，在其邊外側構造一個正方形。將相對的正方形的中心連起，得出兩條線段。線段的長度相等且互相垂直（凡·奧貝爾定理適用於凸凹四邊形）。

驗證推導

這裡僅以凸四邊形為例。

問題 如圖1，以四邊形ABCD的邊為邊向外作四個正方形，其中心分別為E，F，G，H。證明：EG=FH，EG⊥FH。

證明 （複數方法）

為表示方便，下面的點的字母代表點對應的複數。

易知E-B=(A-B)(1+i)/2，F-D=(B-D)(1+i)/2，G-C=(D-C)(1+i)/2，H-A=(C-A)(1+i)/2。

∴G-E=(1+i)D/2-(i-1)C/2+(i-1)B/2-(1+i)A/2,

H-F=(1+i)C/2-(i-1)A/2+(i-1)B/2-(1+i)D/2。

∴H-F=i(G-E)。

由複數運算的幾何意義知命題得證。

證明（幾何方法）

（詳細證明過程見圖2）