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下推自動機

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在自動機理論中，下推自動機（Pushdown automaton）是使用了包含數據的棧的有限自動機。

目錄

綜述

形式定義

例子

廣義下推自動機(GPDA)

綜述

下推自動機比有限狀態自動機複雜：除了有限狀態組成部分外，還包括一個長度不受限制的棧；下推自動機的狀態遷移不但要參考有限狀態部分，也要參照棧當前的狀態；狀態遷移不但包括有限狀態的變遷，還包括一個棧的出棧或入棧過程。下推自動機可以形象的理解為，藉由加上讀取一個容量無限棧的能力，擴充一個能做-轉移的非確定有限狀態自動機。

下推自動機存在「確定」與「非確定」兩種形式，兩者並不等價。（對有限狀態自動機兩者是等價的）

每一個下推自動機都接受一個形式語言。被「非確定下推自動機」接受的語言是上下文無關語言。

如果我們把下推自動機擴展，允許一個有限狀態自動機存取兩個棧，我們得到一個能力更強的自動機，這個自動機與圖靈機等價。

下推自動機作為一個形式系統最早於1961年出現在 Oettinger 的論文中。它與上下文無關文法的等價性是由喬姆斯基於1962年發現的。

形式定義

PDA 形式定義為 6-元組：

這裡的

是狀態的有限集合

是輸入字母表的有限集合

是棧字母表的有限集合

是轉移函數

是「開始狀態」

是「接受狀態」的集合

計算定義 1

對於任何 PDA ，計算路徑是一個有序的（n+1）-元組 ，這裡的 ，它滿足如下條件：

(i) 對於 i = 0, 1, 2,......, n-1,

這裡的

(ii) 使得

在直覺上，PDA 在計算過程中任何一點上都面對着多種可能性，從棧頂讀一個符號並把它替代為另一個符號，從棧頂讀一個符號並刪除它而不替換，不從棧頂讀任何符號但壓入另一個符號進去，或什麼都不做。所有這些都同時由等式 和 來支配。 是緊接在第 i+1 次轉移移動之前的棧內容，而 是要從棧頂去除的符號。 是緊接在第 i+1 次轉移移動之後棧內容，而 是在第 i+1 次轉移移動期間要增加到棧上的符號。

和 二者都可以 。

如果 而 ，則 PDA 從棧讀一個符號並把它替代為另一個符號。

如果 而 ，則 PDA 從棧讀一個符號並刪除它而不替換。

如果 而 ，則 PDA 簡單的增加一個符號到棧上。

如果 而 ，則 PDA 保持棧不變動。

注意當 n=0 時，計算路徑就是單元素集合 。

計算定義 2

對於任何輸入 ，M 接受 w，如果存在計算路徑 和有限序列 ，使得

(i) 對於每個 i = 0, 1, 2,...m， 都在計算路徑上。就是說

這裡的 使得

(ii) 對於每個 i = 0, 1, 2,...m-1。

這裡的 和 定義同於計算定義 1。

(iii) ，如果

這裡的 和 定義同於計算定義 1。

(iv) 且

注意上述定義不提供測試空棧的機制。要這麼做你需要在所有計算開始前在棧上寫一個特殊符號，使得 PDA 可以在檢測到這個符號的時候有效的識別出棧已經空了。形式的說，實現它可通過介入轉移 這裡的 $ 是特殊符號。

3例子

下面是識別語言 的 PDA 的形式描述：

對於任何其他狀態、輸入和棧符號的值。

理解計算過程

下面展示上述 PDA 如何計算不同的輸入字符串。

(a) 輸入字符串 = 0011

(i) 寫 (q1, , ) (q2, $) 來表示 (q2, $) (q1, , )

s0 = , s1 = $, t = , a = , b = $

設置 r0 = q2

(ii) (r0, 0, ) = (q2, 0, ) (q2, 0)

s1 = $, a = , t = $, b = 0, s2 = 0$

設置 r1 = q2

(iii) (r1, 0, ) = (q2, 0, ) (q2, 0)

s2 = 0$, a = , t = 0$, b = 0, s3 = 00$

設置 r2 = q2

(iv) (r2, 1, 0) = (q2, 1, 0) (q3, )

s3 = 00$, a = 0, t = 0$, b = , s4 = 0$

設置 r3 = q3

因為 q4 是接受狀態，0011 被接受。

作為總結，計算路徑 = (q1, q2, q2, q2, q3, q3, q4)

而 (r0, r1, r2, r3, r4) = (q2, q2, q2, q3, q4)

(b) 輸入字符串 = 001

計算移動 (i), (ii), (iii), (iv) 將必定同於情況 (a)，否則，PDA 在到達 (v) 之前就已經進入死胡同。

(v) (r3, , a) = (q3, , a)

因為 s4 = 0$，要麼 a = 要麼 a = 0

在任何一種情況下，(q3, , a) =

因此計算在 r3 = q3 進入死胡同，這不是接受狀態。所以 001 被拒絕。

(c) 輸入字符串 =

設置 r0 = q1, r1 = q1

(r0, , ) (q1, )

因為 q1 是接受狀態， 被接受。

4廣義下推自動機(GPDA) GPDA 是在一個步驟內寫入整個字符串到棧上或從棧上去除整個字符串的 PDA。

GPDA 形式定義為 6-元組

這裡的 Q, , , q0 和 F 的定義同於 PDA。

是轉移函數。

GPDA 的計算規則同於 PDA，除了 ai+1 和 bi+1 現在是字符串而不是符號之外。

GPDA 和 PDA 是等價的，如果一個語言可被一個 PDA 識別，它也可被一個 GPDA 識別，反之亦然。

可以使用下列模擬公式化對 GPDA 和 PDA 的等價性的一個分析式證明：

設 (q1, w, x1x2...xm) (q2, y1y2...yn) 是 GPDA 的轉移。

這裡的 q1, q2 Q, w , x1x2...xm , m0, y1y2...yn , n0。

構造 PDA 的下列轉移：

(q1, w, x1) (p1, )

(p1, , x2) (p2, )

(pm-1, , xm) (pm, )

(pm, , ) (pm+1, yn)

(pm+1, , ) (pm+2, yn-1)

(pm+n-1, , ) (q2, y1)