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| 勾股六术-项名达 | |
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项名达(1789－1850)，字步莱，号梅侣，清代数学家，浙江钱塘（今杭州市）人，祖籍安徽歙县。1816年为国子监学正（掌学规之官），道光六年丙戌朱昌颐榜二甲42名进士。其著名成就之一是“椭圆求周术”，这个结果和现在中学课本“微积分初步”中求平面曲线弧长的微积分方法一致。项名达和戴煦共同发现了指数为有理数的二项定理。
简介
项名达（1789～1850），中国清代数学家，原名万准，字步莱，号梅侣，浙江钱塘（今杭州市）人，祖籍安徽歙县。生于乾隆五十四年，卒于道光三十年。嘉庆二十一年（1816）为举人，考授国子监学正，道光六年（1826）成进士，改任知县，但未就职。应考进士期间，曾在京盘桓数年，与友人研讨数学，后返居故里。道光十七年（1837）前，主讲苕南。此后，在杭州著名的三大书院之一紫阳书院执教，并研究数学。道光二十六年（1846）冬，退职还家，集中精力撰著书稿，主要数学著作有《象数一原》6卷（1849），《勾股六术》1卷（1825），《三角和较术》1卷（1843），《开诸乘方捷术》1卷（1845），后三种合刻为《下学庵算术》印行。[1]
人物成就
他在数学方面的著名成就之一是“椭圆求周术”，这个结果和现在中学课本“微积分初步”中求平面曲线弧长的微积分方法一致。另外，项名达和戴煦共同发现了指数为有理数的二项定理。项名达还在概括和推广清代数学家、天文学家安图证出的正弦、正矢的幂级数展开式等的计算中，得到了有关三角函数幂级数展开式的两个新公式。
他所著作的《象数一原》的主要内容是论述三角函数幂级数展开式问题，他撰写此书时已年老病重，仅写成整分起度弦矢率论、半分起度弦矢率论、零分起度弦矢率论（两卷）、诸术通诠、诸术明变，共6卷。其中卷四和卷六未能完稿，由其友人戴煦遵从他的嘱托于咸丰七年（1857）补写完成，并为椭圆求周术补作图解1卷，故现传本《象数一原》共 7卷。在此书中，他推广了明安图和董祐诚（1791～1823）的结果。董祐诚同明安图一样，也用连比例的方法讨论了全弧与分弧所对的弦的关系以及全弧和分弧的中矢（即该弧所张的弓形的高），得到四个幂级数公式。项名达进一步归纳为下列两个公式：设сn和сm分别为圆内某弧с的n倍和m倍弧长，vn和vm分别为相应的中矢，r为圆半径。
由这两个公式可推导出明安图的九个公式和董祐诚的四个公式，其中包括正弦和反正弦的幂级数展开式、正矢和反正矢的幂级数展开式以及圆周率π的无穷级数表达式等。
项名达的另一项成就是求出椭圆周长公式。
式中p为椭圆周长，e为椭圆离心率，α与b为椭圆长半轴与短半轴。这是中国在二次曲线研究方面最早的重要成果。
他还据此推出圆周率倒数公式。
项名达与戴煦还共同讨论求二项式n次根的简法，在《开诸乘方捷术》中提出了幂指数为 1/n的二项式定理
以及用逐次逼近法开n次方的递推公式。
按上述公式逐次求得的αk+1，即为准确到不同程度的近似值。《勾股六术》与《三角和较术》内容浅显易懂，是项名达为初学者撰写的数学入门书。在这两卷书中，对于勾股形、平面三角形及球面三角形的各边及其和、差的互求关系，做了较系统的分类与总结。
史籍记载
项名达，字梅侣，仁和人。嘉庆二十一年举人，考授国子监学正。道光六年，成进士，改官知县，不就，退而专攻算学。三十年，卒于家，年六十有二。著述甚富，今传世者，但有下学庵句股六术及图解，复附句股形边角相求法三十二题，合为一卷。以句股和较相求诸题术稍繁难，爰取旧术稍为变通。分术为六，使题之相同者通为一术，釐然悉有以御之。第一、二、三术及第四术之前二题，悉本旧解，馀为更定新术，皆别注捷法，各为图解，以明其意。第四、五、六术其原皆出于第三术，可释之以比例。第三术以句弦较比股，若股与句弦和，以股弦较比句，若句与股弦和，是为三率连比例。凡有比例加减之，其和较亦可互相比例。故第四、五、六术诸题，皆可由第三术之题加减而得，即可因第三术之比例而另生比例。因比例以成同积，而诸术开方之所以然遂明。名达又创有弧三角总较术，求椭员弧线术，术定，未有诠释，以义奥趣幽，难猝竟事，故六术独先成云。
名达与乌程陈杰、钱塘戴煦契最深，晚年诣益精进，谓古法无用，不甚涉猎，而专意于平弧三角，与杰意不谋而合。与杰论平三角，名达曰：“平三角二边夹一角，迳求斜角对边，向无其法，窃尝拟而得之，君闻之乎？”杰曰：“未也。”录其法以归。盖以甲乙边自乘与甲丙边自乘相加，得数寄左；乃以半径为一率，甲角馀弦为二率，甲乙、甲丙两边相乘倍之为三率，求得四率，与寄左数相减，钝角则相加，平方开之，得数即乙丙边。
又尝谓泰西杜德美之割圜九术，理精法妙，其原本于三角堆，董方立定四术以明之，洵为卓见。惟求倍分弧，有奇无偶，徐有壬补之，庶几详备。名达尝玩三角堆，叹其数祗一递加，而理法象数，包蕴无穷，夫方圜之率不相通，通方圜者必以尖，句股，尖象也；三角堆，尖数也。古法用半径屡求句股得圜周，不胜其繁。杜氏则以三角堆御连比例诸率，而弧弦可以互通，割圜术蔑以加矣。然以此制八线全表，每求一数，必乘除两次，所用弧线，位多而乘不便，董、徐二氏大、小弧相求法亦然。向思别立简易法，因从三角堆整数中推出零数，但用半径，即可任求几度分秒之正馀弦，不烦取资于弧线及他弧弦矢。且每一乘除，便得一数，似可为制表之一助。
又著象数原始一书，未竟，疾革时，嘱戴煦。后煦索稿于名达子锦标，校算增订六阅月而稿始定，都为七卷。原书之四，仅六纸，并第七卷皆煦所补也。卷一曰整分起度弦矢率论，卷二曰半分起度弦矢率论，卷三、卷四曰零分起度弦矢率论，皆以两等边三角形明其象，递加法定其数，末乃申论其算法。卷五曰诸术通诠，取新立弧弦矢求他弧弦矢二术、半径求弦矢二术及杜、董诸术，按术诠释之。卷六曰诸术明变，杂列所定弦矢求八线术，开诸乘方捷术，算律管新术，椭员求周术，以明皆从递加数转变而得。卷七曰椭员求周图解，原术以袤为径，求大员周及周较，相减而得周，补术则以广为径，求小员周，周较相加而得周，末系以图解。徐有壬巡抚江苏，邮书索煦写定本梓行，刻甫就而有壬殉难，书与板皆毁焉。
有王大有者，字吉甫，仁和诸生。翰林院待诏。穷究天算，问业于处士戴煦。凡煦所著述，皆录副本去，名达见之，因与煦订交。大有尝校割圜捷术合编。后殉于杭州。