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隐函数,如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

简介

隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x^2+y^2=1。因此按照函数“设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量x按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).”的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。

其实总的说来，函数都是方程，但方程却不一定是函数。

设方程P(x, y)=0确定y是x的函数, 并且可导. 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数.

例1 方程 x2+y2-r 2=0确定了一个以x为自变量, 以y为因变量的数, 为了求y对x的导数, 将上式两边逐项对x求导, 并将y2看作x的复合函数, 则有

(x2)+ (y2)- (r 2)=0,

即 2x+2yy‘=0,

于是得 .

从上例可以看到, 在等式两边逐项对自变量求导数, 即可得到一个包含y‘的一次方程, 解出y¢, 即为隐函数的导数.

例2 求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.

解: 将方程两边同时对x求导, 得

2yy’=2p,

解出y‘即得

例3 求由方程y=x ln y所确定的隐函数y=f(x)的导数.

解: 将方程两边同时对x求导, 得

y¢=ln y+x× ×y’　解出y‘;即得 .

例4 由方程x2+x y+y2=4确定y是x的函数, 求其曲线上点(2, -2)处的切线方程.

解: 将方程两边同时对x求导, 得

2x+y+x y’+2y y=0,

解出y‘即得

所求切线的斜率为

k=y’ x=2,y=-2=1,

于是所求切线为

y-(-2)=×(x-2), 即y=x-4.^[1]