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轮换对称法

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名 称：轮换对称法 作 用：用来分解轮换对称式的因式分解方法

一种用来分解轮换对称式的因式分解方法。

用法

当题目为一个轮换对称式时，可用轮换对称法进行分解。（轮换对称式：交换这些式子中的任意两个字母，式子不变，另外，两个轮换对称式的和、差、积、商仍然是轮换对称式。）

解题步骤

（1）试根

把下列5个等式分别带入原式，找出令原式等于0的那个等式。

1、 x=0

2、 x=y

3、 x=-y

4、 x=y+z

5、 x=-y-z

（2）轮换

1、若x=0使原式=0 原式必有因式xyz

2、若x=y使原式=0 原式必有因式（x-y）（y-z）（z-x）

3、若x=-y使原式=0 原式必有因式（x+y）（y+z）（z+x）

4、若x=y+z使原式=0 原式必有因式（x-y-z）（y-z-x）（z-x-y）

5、若x=-y-z使原式=0 原式必有因式（x+y+z）

（3）对比次数

用原式的次数减去必有因式的次数，然后再乘上差的次数的对应的式子。（差几次添几次）

须添上的轮换对称式：

1次：x+y+z

2次：x²+y²+z²、xy+yz+zx

3次：x³+y³+z³、x²y+y²z+z²x、xy²+yz²+zx²、xyz

（4）根据次数待定系数

在需要乘上的式子前加上字母，待定系数。

（5）算出待定的系数

用特值法及恒等式性质算出待定的系数。

（6）得出答案

进行检验，写出答案。

例题

分解因式：x²（y-z）³ +y²（z-x）³ +z²（x-y）³

解： x=y

原式=0

必有因式（x-y）（y-z）（z-x）

原式为五次式，（x-y）（y-z）（z-x）为三次式，则需要补上二次式。

设补上a（x²+y²+z²）+b（xy+yz+zx）

原式=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x²+y²+z²）+b（xy+yz+zx）]

特值法：

令x=1 y=2 z=3

x²（y-z）³ +y²（z-x）³ +z²（x-y）³=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x²+y²+z²）+b（xy+yz+zx）]

-1+32-9=（-1）·（-1）·2·（14a+11b）

22=28a+22b

14a+11b=11

令x=3 y=2 z=4

x²（y-z）³ +y²（z-x）³ +z²（x-y）³=（x-y）（y-z）（z-x）[a（x²+y²+z²）+b（xy+yz+zx）]

-72+4+16=1·（-2）·1·（29a+26b）

-52=-58a-52b

29a+26b=26

14a+11b=11

29a+26b=26

解得a=0

b=1

原式=（x-y）（y-z）（z-x）（xy+yz+zx）

参考来源

高中男子用轮换对称法20秒做一题，步骤太简单学习两分钟就可以！