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转置矩阵

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转置矩阵把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A。通常矩阵的第一列作为转置矩阵的第一行，第一行作为转置矩阵的第一列。

简介

对比正交矩阵和逆矩阵，两者的概念之间，有没有发现它们之间的关联呢？若ATA=AAT=E，则A和AT都是正交矩阵；若AB=BA=E，则A和B互逆。如果AT=B，那么A的逆矩阵不就等于它的转置矩阵AT了吗？从这里可以得出正交矩阵的逆矩阵等于转置矩阵的结论。可能会有人在转置矩阵的概念上发生一些问题。因为并非只有n阶矩阵有转置矩阵，其实m×n矩阵也有转置矩阵，行列交换后的矩阵就是原矩阵的转置矩阵。m×n矩阵A的转置矩阵AT是n×m阶矩阵，而AAT的结果是一个m阶矩阵，它也有可能是一个单位矩阵E。此时A和AT却不是互逆矩阵。这到底是怎么回事呢。

评价

其实不论是正交矩阵还是逆矩阵的概念，都要求矩阵是一个n阶矩阵，或者称为方阵，m×n矩阵当m不等于n时，是不存在正交矩阵和逆矩阵的概念的。因为m×n矩阵A和它的转置矩阵AT的积AAT，结果是一个m阶矩阵，而它们交换位置后，ATA的积却是一个n阶矩阵。 一个m阶矩阵是不可能等于另一个n阶矩阵的，除非m=n，变成一个方阵，才有可能。