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自相似

圖片來自知乎

自相似是近乎或确实和它的一部分相似。

自相似的物件是近乎或确实和它的一部分相似。若说一个曲线自我相似，即每部分的曲线有一小块和它相似。

自我相似是分形的重要特质。

例如一个图片

在图的右边醒目位置，画了一个女孩。她正站在画板前面，神采奕奕，提笔作画（这是第一个女孩）。

女孩在画中所表现的，是她自己正在绘画的情形。所以她的画中有一位和她一模一样的女孩，正在摆着与她同样的姿势，站在画板前面，提笔作画（这是第二个女孩）。

女孩画中的女孩，所画的当然也是她自己正在绘画的情形。所以，在画中女孩的画里，也有一位一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作画（这是第三个女孩）。

画中女孩画中的女孩，画的还是同样的画。所以，在画中女孩画中女孩的画里，同样有一个一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作同样的画（这是第四个女孩）。

在绘制同一幅图形的过程中，如果下一步产生的图形总是与上一步的图形相似，那么这种现象叫做自相似。

这就是一幅自相似的图形。只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去。

自相似-混沌中的秩序

自相似性在日常生活中随处可见。虽然身处其中就某一事件孤立来看，总是没有规律可循的、纷乱的、理不出头绪的，但是我们缩小一个比例或者放大一个比例进行观察，立即就会发现宇宙中普遍的自相似性。海洋、大气层、空间等离子体都具有相似的流体结构，宇宙大尺度结构与人类神经系统具有相似的网状结构，太阳系与原子具有相似的轨道结构，不同尺度的云朵、海岸线、山川、河流、植物、生物组织也都具有自相似结构。一个非常明显但大多数人都不会在意的事实是：我们周围的所有事物的结构几乎都是一个尺度相对较大的事物周围环绕着一些小的事物，且大事物与小事物之间具有自相似性。比如大的星系周围总有几个小星系，恒星周围总有几颗行星，原子周围总有一些电子，大的泡沫周围总有一些小泡沫，城市周围总有一些小城镇，商业中心周围总有一些小店铺，大公司周围总有一些小的卫星公司提供服务，管理者周围总有员工在忙碌，长辈周围总有小孩子的身影。我们可以看到这是一个普遍现象，不管我们考察的对象是宇宙、星球、国家、社会、公司、家庭都具有类似的结构。这看起来如此明显，以至于我们不会想到它们与宇宙深层法则之间的深刻联系，而这些现象背后正体现了宇宙的一项重要法则---自相似结构。

自相似性其实是分形结构的内在规律，分形是自然界的普遍现象，大到山脉、云层、海岸线，小到生命体内部的组织、血管、神经，无不充满了重重叠叠、无穷无尽的分形结构。分形学是由著名的数学家曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的。

所谓分形，就是几何形状可以分成多个部分，每一部分都是整体缩小尺寸的形状近似。科赫曲线（下图）就是一个典型的例子，它是这样构造的，第一次变换将1英尺的每边换成3个各长4英寸的线段，总长度变为 3×4×4/3=16 英寸，对新产生的4条线段执行同样的变换，每一次变换都将使总长度变为乘以4/3，如此无限循环下去，曲线本身将变成无限长。

分形结构之所以能形成自相似性，是因为整个结构是“统一的规律性”在不同的空间尺度上进行连续刻画的结果，这种构建模式自发的产生自相似性。我们可以尝试从纯数学上理解这个问题，当我们考察自然数列时，我们就会发现1~10、1~100、1~1000之间具有同样的相似结构，只不过包含的数越来越多。这种自相似性是由“逢十倍进一”的规律决定的，使用这种循环递进方式描述数系，就形成了一种分形，我们描述无限时经常借助这种方式。如果把自然数列的每个数字都连接起来形成一条链，如[

123456789101112131415161718192021222324…]，且每个数字被赋予：“单位向量长度”下相对于上一数字的旋转角度，如1表示旋转π/10，2表示旋转2π/10，3表示旋转3π/10…依次类推，我们将整个链展现在二维平面上，就会看到一个清晰的分形结构，不断的放大下去，永远呈现出相似又有变化的结构，在细微的层面中逐渐变得果实累累