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| 线性方程组 |
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线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组)。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。
简介
xj表未知量，aij称系数，bi称常数项。
称为系数矩阵和增广矩阵。若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所给方程各式均成立，则称(c1，c2，…，cn)为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称(c1，c2，…，cn)为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解(0，0，…，0)。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是:①一个方程组何时有解。②有解方程组解的个数。③对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决:所给方程组有解，则秩(A)=秩(增广矩阵);若秩(A)=秩=r，则r=n时，有唯一解;r<n时，有无穷多解;可用消元法求解。
当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解;解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。
克莱姆法则(见行列式)给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。
线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。
评价
线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已经作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组成的方程组，证明了当方程组的结式等于零时方程有解。马克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果，克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪60年代以后，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了n元齐次线性方程组(n个方程)有非零解的条件是系数行列式等于零。他还利用消元法将高次方程问题与线性方程组联系起来，提供了某些n次方程的解法。
到了19世纪，英国数学家H．J．S．史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的术语，后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是非增广矩阵和增广矩阵中的最高阶非零行列式是同阶的，即两个矩阵的秩相同，这正是现代解方程组的条件。
大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法得到发展，并在计算数学中占有重要地位。[1]