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等于

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中文名;等于

外文名;equal to

数学上,两个数学对象是相等的,若他们在各个方面都相同,这就定义了一个二元谓词等于,写作"=";x = y 当且仅当x 和y 相等。通常意义上,等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来,就构成了等式。[1]

概述

数学上,两个数学对象是相等的,若他们在各个方面都相同。这就定义了一个二元谓词等于,写作"=";x = y 当且仅当x 和y 相等。通常意义上,等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来,就构成了等式。

注意,有些时候"A = B"并不表示等式。例如,T(n)= O(n)表示在数量级 n上渐进。因为这里的符号"="不满足当且仅当的定义,所以它不等于等于符号;实际上,O(n) = T(n)是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容

集合A 上的等于关系是种二元关系,满足自反性,对称性,反对称性和传递性。 去掉对反对称性的要求,就是等价关系。 相应的,给定集合A上的任意等价关系R,可以构造商集A/R,并且这个等价关系将'下降为'A/R 上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式,包含未知数的等式称为方程式。

基本性质

替代性:

对任意量a和b和任意表达式F(x),若a=b,则F(a)=F(b)(设等式两边都有意义)。

在一阶逻辑中,不能量化像F这样的表达式(它可能是个函数谓词)。

一些例子:

对任意实数a,b,c,若a=b,则a+c=b+c(这里F(x)为x+c); 对任意实数a,b,c,若a=b,则a-c=b-c(这里F(x)为x-c); 对任意实数a,b,c,若a=b,则a'c=b'c(这里F(x)为x'c); 对任意实数a,b,c,若a=b且c不为零,则a/c=b/c(这里F(x)为x/c); 自反性:

对任意量a,a=a。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

对称性:

对任意量a和b,若a=b,则b=a。

传递性:

对任意量a,b,c,若a=b且b=c,则a=c。

实数或其他对象上的二元关系"约等于",即使进行精确定义,也不具有传递性(即使看上去有,但许多小的差别能够叠加成非常大的差别)。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质,但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

逻辑形式

谓词逻辑含有标准的关于相等的公理,从而形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。 莱布尼茨的想法是,两样物体是同一的,当且仅当它们有完全相同的性质。 形式化这一说法,可以写成

对任意x 和y,x = y 当且仅当对任意谓词P,P(x)当且仅当P(y)。 然而,在一阶逻辑中,不能对谓词进行量化。因此,需要使用下述公理:

对任意x 和y,若x 等于y,则P(x)当且仅当P(y)。 这条公理对任意单变量的谓词P 都有效,但只定义了莱布尼茨律的一个方向:若x 和y 相等,则它们具有相同的性质。 可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向:

对任意x,x 等于x。 则若x 和y 具有相同的性质,则特定的它们关于谓词P 是相同的。这里谓词P 为:P(z)当且仅当x = z。 由于P(x)成立,P(y)必定也成立(相同的性质),所以x = y(P 的变量为y).

符号的历史

"等于"符号或 "="被用来表示一些算术运算的结果,是由Robert Recorde在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦,Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长,表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录

约等于的符号是≈或≒,不等于的符号是≠。

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数学常用字:等于

参考资料

  1. 越野不等于油老虎! , 快资讯 2022-04-21