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| 矩阵正定 |
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矩阵正定设M是n阶实对称矩阵， 如果对任一非零实向量X，都使二次型f(X)= X^TMX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)对应的矩阵M称为正定矩阵(Positive Definite)。
简介
正定矩阵在相合变换下可化为规范型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米特矩阵)是正定矩阵。A为实对称矩阵，若A正定，则以下条件等价1、A正定。2、A的所有顺序主子式>0。3、A与单位阵合同，即存在可逆阵C，使A=C^TC。4、A的特征值均>0。5、存在上三角矩阵R，使A=R^TR，其中R主对角线上的元素均>0。
评价
正定矩阵的转置有变化吗？没有变化，a是可逆的，所以它的特征值不是0，而换位相乘后的特征值是原特征值的平方，所以它一定大于0，所以矩阵是正定的。根据定义，正定矩阵是具有正特征值的实对称矩阵。矩阵被分解成几个简单矩阵或特征矩阵的和或积。矩阵的分解方法一般包括三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。一种将矩阵分解成由其特征值和特征向量表示的矩阵乘积的方法。需要注意的是，只有可对角化的矩阵才能进行特征分解。线性代数中，相似矩阵是指具有相似关系的矩阵。[1]