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相交弦定理

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中文名稱;相交弦定理

外文名稱;Intersecting Chords Theorem

類別;定理

適用範圍;數學,圓

相交弦定理(Intersecting Chords Theorem),數學術語,經過圓內一點引兩條弦,各弦被這點所分成的兩線段的積相等。[1]

說明

幾何語言:

若圓內任意弦AB、弦CD交於點P

則PA·PB=PC·PD(相交弦定理)

相關定理

相交弦定理為圓冪定理之一,其他三條定理為:

切割線定理、割線定理、弦切角定理

證明

證明:連結AC,BD

由圓周角定理的推論,得∠A=∠D,∠C=∠B。

(圓周角推論2: 在同圓或等圓中,同(等)弧所對圓周角相等。)

∴△PAC∽△PDB

∴PA∶PD=PC∶PB,PA·PB=PC·PD

註:其逆定理可作為證明四邊形是圓的內接四邊形的方法. P點若選在圓內任意一點更具一般性。其逆定理也可用於證明四點共圓。

比較

相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們的推論統稱為圓冪定理。一般用於求線段長度。

當P點在圓內時稱為相交弦定理,當P點在圓上時稱為切割線定理,當P點在圓外時稱為割線定理。三條定理統稱為圓冪定理。其中|OP²-R²|稱為P點對圓O的冪。(R為圓O的半徑)

推論

如果弦與直徑垂直相交,那麼弦的一半是它所分直徑所成的兩條線段的比例中項。

幾何語言:

若AB是直徑,CD垂直AB於點P,

則PC²=PA·PB(相交弦定理推論

參考來源

圓冪定理3 相交弦定理

參考資料

  1. 相交弦定理,360搜索 , 2019-09-19