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| 燕尾定理 |
燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有 S△AOB∶S△AOC=BD∶CD S△AOB∶S△COB=AE∶CE S△BOC∶S△AOC=BF∶AF 因此图类似燕尾而得名。是五大模型之一，是一个关于平面三角形的定理，俗称燕尾定理。
基本信息
中文名； 三角定理
外文名； Dovetail theorem
别称； 燕尾定理
表达式； BF:FC=S△BFD:S△FDC=S△ABD:S△ADC
应用学科； 数学
适用领域范围； 平面三角形图形
名称由来； 因图类似燕尾
验证推导； 证法1：下面的是第一种方法：利用分比性质(若a÷b=c÷d，则(a-b)÷b=(c-d)÷d，b≠0，d≠0，)
注：∵(a-b)÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1，
(c-d)÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1，
a/b=c/d
∴(a-b)÷b=(c-d)÷d
∵△ABD与△ACD同高
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD
同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD
利用分比性质，得
S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD
即S△AOB：S△AOC=BD：CD
命题得证。
(由此可得：若X：Y=a∶b，X1∶Y1=a∶b；则(X±X1)∶(Y±Y1)=a∶b.其中Y、Y1≠0，Y≠Y1且Y-≠Y1)
证法2：相似三角形法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE 证明：
过点O作MN∥BC，，交AB于点M，AC于点N；
过点O作PQ∥AB，交BC于点P，交AC于点Q。
∵MN∥BC
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD
∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD
∴MO：BD=NO：CD
∵AD是△ABC的一条中线
∴BD=CD
∴MO=NO
∵PQ∥AB
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF
∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF
∴PO：BF=QO：AF
∵CF是△ABC的一条中线
∴AF=BF
∴PO=QO
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO
∴△MOP≌△NOQ(SAS)
∴∠MPO=∠NQO
∴MP∥AC(内错角相等，两条直线平行)
∴△BMR∽△BAE(R为MP与BO的交点)，△BPR∽△BCE
∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE
∴MR：AE=PR：CE
∵MN∥BC，PQ∥AB
∴四边形BMOP是平行四边形
∴MR=PR(平行四边形的对角线互相平分)
∴AE=CE
概要：利用共边三角形性质作共有边上的高，由相似比相等得证.
证法3
下面的是第三种方法：面积法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
如图，
∵点D是BC的中点，点F是AB的中点
∴S△CAD = S△BAD，S△COD = S△BOD
∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD
即S△AOC(绿) = S△AOB(红)
∵S△ACF = S△BCF，S△AOF = S△BOF
∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF
即S△AOC(绿) = S△BOC(蓝)
∴S△AOB(红) = S△BOC(蓝)
∵S△AOE：S△AOB(红) = OE：OB，S△COE：S△BOC(蓝) = OE：OB
∴S△AOE：S△AOB(红) = S△COE：S△BOC(蓝)
∵S△AOB(红) = S△BOC(蓝)
∴S△AOE = S△COE
∴AE=CE
命题得证。
证法4
下面的是第四种方法：中位线法
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连接并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：
如图，延长OE到点G，使OG=OB。
∵OG=OB
∴点O是BG的中点
又∵点D是BC的中点
∴OD是△BGC的一条中位线
∴AD∥CG(三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半)
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点
∴OF是△BGA的一条中位线
∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG
∴四边形AOCG是平行四边形
∴AC、OG互相平分
∴AE=CE
命题得证。
证法5：因为ABCO是凹四边形，根据共边比例定理，命题得证
定理推广
四边形ABCD(不一定是凸四边形)，设AC，BD相交于E则有BE ：DE=S△ABC ∶S△ADC
证明：∵S△ABC=S△ABE+S△BEC
S△ADC=S△AED+S△CED.
又∵S△ABE∶S△AED=S△BEC∶S△CED=BE∶ED(∵高相等). ∴S△ABE+S△BEC：S△AED+S△CED=S△ABC∶：S△ADC=BE：ED
此定理是面积法最重要的定理之一。[1]