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態疊加原理

態疊加
圖片來自學習島

量子力学裏,叠加原理(superposition principle)表明,假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種,則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交,則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。

數學表述,态叠加原理是薛丁格方程式[1] 的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式,任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合(稱為「疊加態」)的解時常會被設定為相互正交(稱為「基底態」),例如氫原子電子能級態;換句話說,這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣,對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值,是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值,乘以疊加態處於對應基底態的機率之後,所有乘積的總和。

更具體地說明,假設對於某量子系統測量可觀察量A,而可觀察量A的本徵態|a_1\rang、|a_2\rang分別擁有本徵值a_1、a_2,則根据薛定谔方程线性关系,疊加態|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang也可以是這量子系統的量子態;其中,c_1、c_2分別為疊加態處於本徵態|a_1\rang、|a_2\rang的機率幅。假設对這疊加態系統测量可观察量A,則測量獲得數值是a_{1}或a_{2}的機率分別為|c_{1}|^2、|c_{2}|^2,期望值為\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2。

舉一個可直接觀察到量子疊加的實例,在雙縫實驗裏,可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉,造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋,這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。

再舉一個案例,在量子運算裏,量子位元是的兩個基底態|0 \rangle 與|1 \rangle 的線性疊加。這兩個基底態|0 \rangle 、|1 \rangle 的本徵值分別為0、1。

目录

理論

在數學裏,疊加原理表明,線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式,疊加原理也適用於量子力學,在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 |f_1\rang或|f_2\rang ,這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合|f\rang=c_1|f_1\rang+c_2|f_2\rang,也滿足同樣的薛丁格方程式;其中,c_1、c_2是複值係數,為了歸一化|f\rang,必須讓|c_{1}|^2+|c_{2}|^2=1。

假設\theta為實數,則雖然e^{i\theta}|f_2\rang與|f_2\rang標記同樣的量子態,他們並無法相互替換。例如,|f_1\rang+|f_2\rang、|f_1\rang+e^{i\theta}|f_2\rang分別標記兩種不同的量子態。但是,|f_1\rang+|f_2\rang</math>和<math>e^{i\theta}(|f_1\rang+|f_2\rang)都標記同一個量子態。因此可以這樣說,整體的相位因子並不具有物理意義,但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。

電子自旋範例

設想自旋為1/2的電子,它擁有兩種相互正交的自旋本徵態,上旋態|\uparrow \rang與下旋態|\downarrow \rang,它們的量子疊加可以用來表示量子位元

|\psi\rang= c_{\uparrow}|\uparrow \rang + c_{\downarrow}|\downarrow \rang;

其中,c_{\uparrow}、c_{\downarrow}分別是複值係數,為了歸一化|\psi\rang,必須讓|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1。

這是最一般的量子態。係數c_{\uparrow}、c_{\downarrow}分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率:

p_{\uparrow}=|c_{\uparrow}|^2、
p_{\downarrow}=|c_{\downarrow}|^2 。

總機率應該等於1: p=p_{\uparrow}+p_{\downarrow}=|c_{\uparrow}|^2+|c_{\downarrow}|^2=1。

這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態:

|\psi\rangle = {3i\over 5} |\uparrow\rang + {4\over 5} |\downarrow\rang。

電子處於上旋態或下旋態的機率分別為

p_{\uparrow}=\left|\;\frac{3i}{5}\;\right|^2=\frac{9}{25}、
p_{\downarrow}=\left|\;\frac{4}{5}\;\right|^2=\frac{16}{25}。

再次注意到總機率應該等於1:

p=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1。

非相對論性自由粒子案例

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式

- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},t) =

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},t);

其中,\hbar是約化普朗克常數,\Psi(\mathbf{r},t)是粒子的波函數,\mathbf{r}是粒子的位置,t是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解:

\Psi(\mathbf{r},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)};

其中,\mathbf{k}是波向量,\omega是角頻率

代入薛丁格方程,這兩個變數必須遵守關係式

\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega。

由於粒子存在的機率等於1,波函數\Psi(\mathbf{r},t)必須歸一化,才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言,這不是問題。因為,自由粒子的波函數,在位置或動量方面,都是局部性的。在量子力學裏,一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加

\Psi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{K}} A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\mathrm{d}\mathbf{k};

其中,積分區域\mathbb{K}是\mathbf{k}-空間。

為了方便計算,只思考一維空間,

\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ \mathrm{d}k ;

其中,振幅A(k)是量子疊加的係數函數。

逆反過來,係數函數表示為

A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} \Psi(x,0) ~ e^{ - ikx}\,\mathrm{d}x ;

其中,\Psi(x,0)是在時間t=0的波函數。

所以,知道在時間t=0的波函數\Psi(x,0),通過傅立葉變換,可以推導出在任何時間的波函數\Psi(x,t)。

參考文獻

  1. 薛丁格方程式,scimonth.blogspot