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微分形式

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微分形式(differential form)是多变量微积分,微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式,及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法,都是由著名法国数学家埃里·卡当(Elie Cartan)引入的。

微分流形M上外形式丛的一个光滑截面.设ω:M→Λ(TM*),若对于外形式丛的丛射影π,满足π°ω=id,则称ω为M上的微分形式.

简介

微分形式的一个优点就是能做外微分 运算。 比如ω=α(x_1,...x_n)dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}是一个r次微分形式, 那么dω=dα∧dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}. 这就把一个r次微分形式映到了r+1次微分形式。换言之,

我们有映射d: A^r(T^*)→A^{r+1}(T^*). 这个映射称为外微分。

易知两次外微分的复合等于零, 即dd=0,即poincare(庞加莱)引理. 一个微分形式ω如果满足dω=0, 我们就称其为闭形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ, 我们就称其为恰当形式。 利用dd=0这一条件,我们就得到所谓的DeRham复形, 由这个复形,就导出了所谓的DeRham上同调, 它就是闭形式生成的向量空间商掉恰当形式以后得到的商空间。

楔积法则:d(x∧y)=dx∧y+(-1)^(degx)*x∧dy.

此外, 外微分运算还满足牛顿-莱布尼兹公式, 即对区域边界某外微分的积分等于对区域内该外微分的微分的积分。是高斯公式,斯托克斯公式的概括和总结,是单变量微积分中牛顿-莱布尼兹公式在多变量中的推广。

评价

利用外微分和积分运算, 我们可以得到著名的斯托克斯定理。 它是说一个恰当形式ω=dγ在定义域M上的积分,就等于γ在M的边界上的积分。这个定理有很多特殊情况, 都是经典微积分理论中的重要公式, 比如牛顿莱布尼兹公式, 高斯公式, 格林公式 等等。

斯托克斯定理表明, 外微分算子d和拓扑图形的边缘算子是相伴的。 这暗示了微分分析和拓扑学之间的微妙联系。[1]

参考文献