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| 負數 | |
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負數，是數學術語，負數與正數表示意義相反的量。負數用負號(Minus Sign，即相當於減號)"-"和一個正數標記，如−2，代表的就是2的相反數。於是，任何正數前加上負號便成了負數。一個負數是其絕對值的相反數。在數軸線上，負數都在0的左側，最早記載負數的是我國古代的數學著作《九章算術》。在算籌中規定"正算赤，負算黑"，就是用紅色算籌表示正數，黑色的表示負數。兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。[1]
基本介紹
任何正數前加上負號都等於負數。0加上負號就不是負數！在數軸線上，負數都在0的左側，沒有最小的負數，所有的負數都比自然數小 比零小（<0 )的數。用負號（即相當於減號）「－」標記。例如：-1就是一個負數，讀作：負1。
中國在《九章算術》《方程》章中就引入了負數（negative number）的概念和正負數加減法的運算法則。在某些問題中，以賣出的數目為正（因是收入），買入的數目為負（因是付款）；余錢為正，不足錢為負。在關於糧谷計算中，則以加進去的為正，減掉的為負。「正」、「負」這一對術語從這時起一直沿用到現在。
在《方程》章中，引入的正負數加法法則稱為「正負術」。正負數的乘除法則出現得比較晚，在1299 年朱世傑編寫的《算學啟蒙》中，《明正負術》一項講了正負數加減法法則，一共八條，比《九章算術》更加明確。在「明乘除段」中有「同名相乘為正，異名相乘為負」之句，也就是(±a)×(±b)=+ab，(±a)×( b)=-ab，這樣的正負數乘法法則，是中國最早的記載。宋末李冶還創用在算籌上加斜劃表示負數，負數概念的引入是中國古代數學最傑出的創造之一。[2] 印度人最早在中國之後提出負數，628年左右的婆羅摩笈多（約598-665）。他提出了負數的運算法則，並用小點或小圈記在數字上表示負數。在歐洲初步認識提出負數概念，最早要算意大利數學家斐波那契（1170-1250）。他在解決一個盈利問題時說︰我將證明這個問題不可能有解，除非承認這個人可以負債。15世紀的舒開（1445-1510）和16世紀的史提非（1553）雖然他們都發現了負數，但又都把負數說成是荒謬的數，卡當（1545）給出了方程的負根，但他把它說成是「假數」。韋達知道負數的存在，但他完全不要負數。笛卡兒部分地接受了負數，他把方程的負根叫假根，因它比「無/零」更小。
哈雷奧特（1560-1621）偶然地把負數單獨地寫在方程的一邊，並用「－」表示它們，但他並不接受負數。邦別利（1526-1572）給出了負數的明確定義。史提文在方程里用了正、負係數，並接受了負根。基拉德（1595-1629）把負數與正數等量齊觀、並用減號「-」表示負數。總之，在16、17世紀，歐洲人雖然接觸了負數，但對負數接受的進展是緩慢的。負數可以用來表示溫度等各種東西。
數學術語
負數的簡介
任何正數前加上負號都等於負數。負數比零小，正數都比零大。零既不是正數，也不是負數。
在數軸線上，負數都在0的左側，沒有最大與最小的數，所有的負數都比自然數小。
比零小（<0)的數．用負號（即相當於減號）「－」標記。
去除負數前的負號等於這個負數的絕對數。
如-2 -5 33 -45 -0.6等；-2的絕對值為2，-5.33的絕對值為5.33，-45的絕對值為45，-0.6的絕對值為0.6等。
分數也可做負數，如：-2/5
負號（Minus Sign）。
例題一
我們在小學學過自然數;一個物體也沒有，就用0來表示，測量和計算有時不能得到整數的結果，這就要用分數和小數表示.同學們還見過其他種類的數嗎?
現在有兩個溫度計,溫度計液面指在0以上第6刻度，它表示的溫度是6℃，那麼溫度計液面指在0以下第6刻度，這時的溫度如何表示呢?
提示： 如果還用6℃來表示，那麼就無法區分是零上6℃還是零下6℃，因此我們就引入一種新數——負數.
參考答案： 記作-6℃.
說明：我們為了區分零上6℃與零下6℃這一組具有相反意義的量，因而引入了負數的概念.
例題二
下面我們再看一個例子，從中國地形圖上可以看到，有一座世界最高峰—珠穆朗瑪峰,圖上標着8844M;
還有一個吐魯番盆地，圖上標着-155M.你能說出它們的高度各是多少嗎
提示：
中國地形圖上可以看到，上述兩處都標有它們的高度的數，圖上標的數表示的高度是相對海平面說的，
通常稱為海拔高度.8844表示珠穆朗比海平面高8844米，-155表示吐魯番盆地比海平面低155米.
參考答案： 珠穆朗瑪峰的高度是海拔8844米；
吐魯番盆地的高度是海拔-155米.
說明：這個例子也說明了我們為了實際需要引入負數，是為了區分海平面以上與海平面以下高度，它們也表示
具有相反意義的量.
例題三
甲地海拔高度是35米 乙地海拔高度是15米，丙地海拔高度是-20米，請問哪個地方最高，哪個地方
最低？最高的地方比最低的地方高多少？
提示：35米，15米，-20米分別表示什麼意義？
參考答案： 甲地最高，丙地最低，最高的地方比最低的地方高55米。
說明：35米表示高出海平面35米，15米表示高出海平面15米,-20米表示低于海平面20米，所以甲地最高，
丙地最低，且甲地比丙地高55米。
例題四
我們已經知道，具有相反意義，負數表示。例如：零上5℃和零下6℃可記為+5℃和-6℃；高出海平面10米和低于海平面8米可記為+10米和-8米；收入200元和支出300元可記為+200元和-300元；前進30米和後退40米可記為+30米和-40米，請問上升7米和向東運動9米可記為+7米和-9米嗎？是具有相反意義的量嗎？
參考答案：
不可以記為+7米和-9米。
說明：具有相反意義的量必須滿足兩個條件：（1）它們必須是同一屬性的量；（2）它們的意義相反。上升和下降；向東運動和向西運動才是相反意義的量，因為上升和向東運動不是具有相反意義的量，所以不可
以記為+7米和-9米。
-π是超越數，不是有理數
記住：有理數包括整數和分數，而整數則包括正整數、0、負整數，分數則包括正分數和負分數。
發展歷史
人們在生活中經常會遇到各種相反意義的量。比如，在記賬時有餘有虧；在計算糧倉存米時，有時要記進糧食，有時要記出糧食。為了方便，人們就考慮了相反意義的數來表示。於是人們引入了正負數這個概念，把余錢進糧食記為正，把虧錢、出糧食記為負。可見正負數是生產實踐中產生的。
據史料記載，早在兩千多年前，中國就有了正負數的概念，掌握了正負數的運算法則。人們計算的時候用一些小竹棍擺出各種數字來進行計算。比如，356擺成||| ，3056擺成等等。這些小竹棍叫做「算籌」算籌也可以用骨頭和象牙來製作。
中國三國時期的學者劉徽在建立負數的概念上有重大貢獻。劉徽首先給出了正負數的定義，他說：「今兩算得失相反，要令正負以名之。」意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區分它們。
劉徽第一次給出了正負區分正負數的方法。他說：「正算赤，負算黑；否則以斜正為異」意思是說，用紅色的小棍擺出的數表示正數，用黑色的小棍擺出的數表示負數；也可以用斜擺的小棍表示負數，用正擺的小棍表示正數。
中國古代著名的數學專著《九章算術》（成書於公元一世紀）中，最早提出了正負數加減法的法則：「正負數曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」這裡的「名」就是「號」，「除」就是「減」，「相益」、「相除」就是兩數的絕對值「相加」、「相減」，「無」就是「零」。
用現在的話說就是：「正負數的加減法則是：同符號兩數相減，等於其絕對值相減，異號兩數相減，等於其絕對值相加。零減正數得負數，零減負數得正數。異號兩數相加，等於其絕對值相減，同號兩數相加，等於其絕對值相加。零加正數等於正數，零加負數等於負數。」
這段關於正負數的運算法則的敘述是完全正確的，與現在的法則完全一致！負數的引入是中國數學家傑出的貢獻之一。
用不同顏色的數表示正負數的習慣，一直保留到現在。現在一般用紅色表示負數，報紙上登載某國經濟上出現赤字，表明支出大於收入，財政上虧了錢。
負數是正數的相反數。在實際生活中，我們經常用正數和負數來表示意義相反的兩個量。夏天武漢氣溫高達42°C，你會想到武漢的確象火爐，冬天哈爾濱氣溫-32°C一個負號讓你感到北方冬天的寒冷。
在現今的中小學教材中，負數的引入，是通過算術運算的方法引入的：只需以一個較小的數減去一個較大的數，便可以得到一個負數。這種引入方法可以在某種特殊的問題情景中給出負數的直觀理解。而在古代數學中，負數常常是在代數方程的求解過程中產生的。對古代巴比倫的代數研究發現，巴比倫人在解方程中沒有提出負數根的概念，即不用或未能發現負數根的概念。3世紀的希臘學者丟番圖的著作中，也只給出了方程的正根。然而，在中國的傳統數學中，已較早形成負數和相關的運算法則。
除《九章算術》定義有關正負運算方法外，東漢末年劉烘（公元206年）、宋代揚輝（1261年）也論及了正負數加減法則，都與九章算術所說的完全一致。特別值得一提的是，元代朱世傑除了明確給出了正負數同號異號的加減法則外，還給出了關於正負數的乘除法則。他在算法啟蒙中，負數在國外得到認識和被承認，較之中國要晚得多。在印度，數學家婆羅摩笈多於公元628年才認識負數可以是二次方程的根。而在歐洲14世紀最有成就的法國數學家丘凱把負數說成是荒謬的數。直到十七世紀荷蘭人日拉爾才首先認識和使用負數解決幾何問題。
與中國古代數學家不同，西方數學家更多的是研究負數存在的合理性。16、17世紀歐洲大多數數學家不承認負數是數。帕斯卡認為從0減去4是純粹的胡說。帕斯卡的朋友阿潤德提出一個有趣的說法來反對負數，他說（-1）：1=1：（-1），那麼較小的數與較大的數的比怎麼能等於較大的數與較小的數比呢？直到1712年，連萊布尼茲也承認這種說法合理。英國數學家瓦里承認負數，同時認為負數小於零而大於無窮大（1655年）。他對此解釋到：因為a>0時，英國著名代數學家德·摩根 在1831年仍認為負數是虛構的。他用以下的例子說明這一點：「父親56歲，其子29歲。問何時父親年齡將是兒子的二倍？」他列方程56+x=2（29+x），並解得x=-2。他稱此解是荒唐的。當然，歐洲18世紀排斥負數的人已經不多了。隨着19世紀整數理論基礎的建立，負數在邏輯上的合理性才真正建立。
計算法則
+-a+(-b)=－|-a+-b|=負數
-a+b=符號取絕對值較大的加數的符號，數值取「用較大的絕對值減去較小的絕對值 」的所得值
－-a－(-b)= -a+|-b| =-a+b，再按負數加正數的方法算
-a－b=－|b+ -a|=負數異號兩數相減，等於其絕對值相加
×-a × -b=|-a × -b| =x
-a×b=－|b × -a|=-y
備註：
①從高等數學角度說，負數的乘法運算並不成立（負數和0沒有對數）沒有對數逆運算，只有正數的乘法運算才有對數逆運算才真正成立。數學家並不認可負數的指數運算的結果。
②生活中遇到的負數乘法運算對於普通人來說成立，因為負數的乘法運算有除法作為逆運算。對於不搞數學專業的人來說不必關心該問題（注意：負數的指數運算真正的檢驗標準、逆運算不是除法，而是對數）
÷-a÷-b=|-a÷-b| =正數
-a÷b=－|-a÷b| =負數
總得來說，就是同數相除等於正數，異數相除等於負數。
應用：負數可以廣泛應用於溫度、樓層、海拔、水位、盈利、增產/減產、支出/收入、得分/扣分等等的這些方面中。現小學六年級學。（初一也有學）。