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中文名；等於 外文名；equal to |
數學上，兩個數學對象是相等的，若他們在各個方面都相同，這就定義了一個二元謂詞等於，寫作"=";x = y 當且僅當x 和y 相等。通常意義上，等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來，就構成了等式。[1]
概述
數學上，兩個數學對象是相等的，若他們在各個方面都相同。這就定義了一個二元謂詞等於，寫作"=";x = y 當且僅當x 和y 相等。通常意義上，等於是通過兩個元素間的等價關係來構造的。將兩個表達式用等於符號連起來，就構成了等式。
注意，有些時候"A = B"並不表示等式。例如，T(n)= O(n)表示在數量級 n上漸進。因為這裡的符號"="不滿足當且僅當的定義，所以它不等於等於符號;實際上，O(n) = T(n)是沒有意義的。請參見大O符號了解這部分內容。
集合A 上的等於關係是種二元關係，滿足自反性，對稱性，反對稱性和傳遞性。 去掉對反對稱性的要求，就是等價關係。 相應的，給定集合A上的任意等價關係R，可以構造商集A/R，並且這個等價關係將'下降為'A/R 上的等於。
在任何條件下都成立的等式稱為恆等式，包含未知數的等式稱為方程式。
基本性質
替代性:
對任意量a和b和任意表達式F(x)，若a=b，則F(a)=F(b)(設等式兩邊都有意義)。
在一階邏輯中，不能量化像F這樣的表達式(它可能是個函數謂詞)。
一些例子:
對任意實數a，b，c，若a=b，則a+c=b+c(這裡F(x)為x+c); 對任意實數a，b，c，若a=b，則a-c=b-c(這裡F(x)為x-c); 對任意實數a，b，c，若a=b，則a'c=b'c(這裡F(x)為x'c); 對任意實數a，b，c，若a=b且c不為零，則a/c=b/c(這裡F(x)為x/c); 自反性:
對任意量a，a=a。
這個性質通常在數學證明中作為中間步驟。
對稱性:
對任意量a和b，若a=b，則b=a。
傳遞性:
對任意量a，b，c，若a=b且b=c，則a=c。
實數或其他對象上的二元關係"約等於"，即使進行精確定義，也不具有傳遞性(即使看上去有，但許多小的差別能夠疊加成非常大的差別)。
儘管對稱性和傳遞性通常看上去是基本性質，但它們能夠通過替代性和自反性證明得到。
邏輯形式
謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理，從而形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當且僅當它們有完全相同的性質。 形式化這一說法，可以寫成
對任意x 和y，x = y 當且僅當對任意謂詞P，P(x)當且僅當P(y)。 然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理:
對任意x 和y，若x 等於y，則P(x)當且僅當P(y)。 這條公理對任意單變量的謂詞P 都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向:若x 和y 相等，則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向:
對任意x，x 等於x。 則若x 和y 具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞P 是相同的。這裡謂詞P 為:P(z)當且僅當x = z。 由於P(x)成立，P(y)必定也成立(相同的性質)，所以x = y(P 的變量為y).
符號的歷史
"等於"符號或 "="被用來表示一些算術運算的結果，是由Robert Recorde在1557年發明的。
由於覺得書寫文字過於麻煩，Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中採用了這一符號。原因是符號中的兩條線一樣長，表明其連接的兩個量也相等。這一發明在威爾士的St Mary教堂有記錄。
約等於的符號是≈或≒，不等於的符號是≠。
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