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中文名；等于 外文名；equal to |
数学上，两个数学对象是相等的，若他们在各个方面都相同，这就定义了一个二元谓词等于，写作"=";x = y 当且仅当x 和y 相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式。[1]
概述
数学上，两个数学对象是相等的，若他们在各个方面都相同。这就定义了一个二元谓词等于，写作"=";x = y 当且仅当x 和y 相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式。
注意，有些时候"A = B"并不表示等式。例如，T(n)= O(n)表示在数量级 n上渐进。因为这里的符号"="不满足当且仅当的定义，所以它不等于等于符号;实际上，O(n) = T(n)是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。
集合A 上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。 去掉对反对称性的要求，就是等价关系。 相应的，给定集合A上的任意等价关系R，可以构造商集A/R，并且这个等价关系将'下降为'A/R 上的等于。
在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。
基本性质
替代性:
对任意量a和b和任意表达式F(x)，若a=b，则F(a)=F(b)(设等式两边都有意义)。
在一阶逻辑中，不能量化像F这样的表达式(它可能是个函数谓词)。
一些例子:
对任意实数a，b，c，若a=b，则a+c=b+c(这里F(x)为x+c); 对任意实数a，b，c，若a=b，则a-c=b-c(这里F(x)为x-c); 对任意实数a，b，c，若a=b，则a'c=b'c(这里F(x)为x'c); 对任意实数a，b，c，若a=b且c不为零，则a/c=b/c(这里F(x)为x/c); 自反性:
对任意量a，a=a。
这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。
对称性:
对任意量a和b，若a=b，则b=a。
传递性:
对任意量a，b，c，若a=b且b=c，则a=c。
实数或其他对象上的二元关系"约等于"，即使进行精确定义，也不具有传递性(即使看上去有，但许多小的差别能够叠加成非常大的差别)。
尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。
逻辑形式
谓词逻辑含有标准的关于相等的公理，从而形式化莱布尼茨律。莱布尼茨律是由哲学家莱布尼茨在17世纪提出来的。 莱布尼茨的想法是，两样物体是同一的，当且仅当它们有完全相同的性质。 形式化这一说法，可以写成
对任意x 和y，x = y 当且仅当对任意谓词P，P(x)当且仅当P(y)。 然而，在一阶逻辑中，不能对谓词进行量化。因此，需要使用下述公理:
对任意x 和y，若x 等于y，则P(x)当且仅当P(y)。 这条公理对任意单变量的谓词P 都有效，但只定义了莱布尼茨律的一个方向:若x 和y 相等，则它们具有相同的性质。 可以通过简单的假设来定义莱布尼茨律的另一个方向:
对任意x，x 等于x。 则若x 和y 具有相同的性质，则特定的它们关于谓词P 是相同的。这里谓词P 为:P(z)当且仅当x = z。 由于P(x)成立，P(y)必定也成立(相同的性质)，所以x = y(P 的变量为y).
符号的历史
"等于"符号或 "="被用来表示一些算术运算的结果，是由Robert Recorde在1557年发明的。
由于觉得书写文字过于麻烦，Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。
约等于的符号是≈或≒，不等于的符号是≠。
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