整数
整数，就是像0、1、2、3、-10、1、3、10等这样的数。[1]
| 整数 | |
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整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…(n为非零自然数)为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数,分数。
目录
性质及应用
概念及其性质
如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。[2]
定义：设a,b是给定的数，b≠0，若存在整数c，使得a=bc,则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因子)，称a是b的一个倍数，如果不存在上述c，则称b不能整除a。
整数整除性
（1）1与0的特性：
1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.
0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2=7，所以133是7 的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2=595 ， 59－5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
整数的奇偶性
(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数；
（2）奇数的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶数的平方可以表示为8m或（8m+4)的形式；
（3）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。
奇偶性的哲学内涵
（作者：奇东，单位：奇东）
偶数能被2自然整除，奇数不能被2自然整除。奇数却能被2“相对整除”，如果定义小数±0.5，±1.5，±2.5，±3.5，±4.5，±5.5，±6.5，…拥有“相对整”性质的话。其哲学意义：传统意义的偶数能被2整除、奇数不能被2整除是指奇数与偶数二者的排斥性、对立性、差异性，偶数能被2整除、奇数不能被2整除、奇数却能被2在抽象意义下“相对整除”是指奇数和偶数的异中之同、差异中的共性与同一性，恰好与哲学的对立统一规律相吻合，因此说，奇数与偶数（或整数与半整数）相反相成，蕴涵着哲学的对立统一规律！常言道，最简单的、最质朴恰恰是最深奥的。一个最简单的数值逻辑，蕴涵着最深刻的真理----对立统一规律。
整数拥有单位“1”，“相对整”分数拥有分数单位“1/2”。依照逻辑、概念、定义，分数就是分数。半整数拥有分数性质，然而却偏偏冒出一个“相对整”性质，考验人类科学的勇气与智慧。
完全平方数
完全平方数及其性质
能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：
（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；
（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；
（3）奇数平方的十位数字是偶数；
（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；
（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整除的数的平方能被3整除。因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；
（6）平方数的约数的个数为奇数；
（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。
（8）设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若（a,b）=1，则a,b都是整数的k次方幂。一般地，设正整数a,b,c……之积是一个正整数的k次方幂（k≥2），若a,b,c……两两互素，则a,b,c……都是正整数的k次方幂。
数学分类
整数的分类
以0为界限，将整数分为三大类
1.正整数
即大于0的整数如：1，2，3······等等。
2.零
既不是正整数，也不是负整数，它是介于正整数和负整数的数。
3.负整数
即小于0的整数如：-1，-2，-3······等等。
正整数
它是从古代以来人类计数的工具。可以说，从“一头牛，两头牛”或是“五个人，六个人”抽象化成正整数的过程是相当自然的。 正整数也可分成奇数和偶数两类。
零
不仅表示“没有”（“无”），更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯命数法中的零(Zero)来自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。
负整数
中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的“正负数”，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。
奇数
在整数中，不能被2整除的数叫做奇数，它跟偶数是相对的。日常生活中，人们通常把正奇数叫做单数，它跟双数是相对的。
偶数
整数中，能够被2整除的数，叫做偶数。 偶数包括正偶数（俗称双数）、负偶数和0。 所有整数不是奇数，就是偶数。当n是整数时，偶数可表示为2n（n为整数）；奇数则可表示为2n+1（或2n-1）。 在十进制里，我们可用看个位数的方式判断该数是奇数还是偶数：个位为1,3,5,7,9的数为奇数；个位为0,2,4,6,8的数为偶数。
备注：现中学数学教材中规定：零和正整数为自然数。
广义整数
将整数与半整数统称为广义整数，应量子力学的需要将整数扩展为广义整数，数值逻辑公理系统提供理论支持，量子力学的半整数提供客观的科学支持！
代数性质 下表给出任何整数a，b和c的加法和乘法的基本性质。
非负整数为正整数和零的统称，就是处负整数以外的整数都叫非负整数，非负整数也叫自然数。
非正整数为负整数和零的统称，就是处正整数以外的整数都叫非正整数。
计算机语言中
整数是对象，用一个引用指向这个对象
Java 中的数据类型分为基本数据类型和复杂数据类型 int 是前者>>integer 是后者（也就是一个类）
数据类型
Uninterpreted 位元 字节 Trit Tryte Word 数值 整数 Fixed-point 浮点数 Rational Complex Bignum Interval 文本 字符 字符串 指针 物理地址 Reference 组合 Algebraic data type 数组 Associative array Class List Object Option type Product Record Set Union 其他 布尔型 Bottom type Collection Enumerated type 异常 First-class function Opaque data type Recursive data type 信号标 字串流 Top type Type class Unit type Void
相关议题 抽象资料型别 数据结构 Interface Kind 原始型别 Subtyping Template Type constructor Parametric polymorphism 数学名词 八边形 八面体 百分比 百分点 百分位数 半径 半球 半圆 被乘数 被除数 被加数 被减数 比 比例 边 变量 标准差 表面积 并集 补集 不等边三角形 不等式 不定积分 差 长 常量 乘 乘方 乘数 除 除数 垂心 次方 次方根 大于 大于等于 代数 单调性 单项式 导数 等边三角形 等式方程式 等腰三角形 等腰梯形 等于 底 底面 点 定积分 定理 定义域 对数 钝角 钝角三角形 多边形 多面体 二次方程 多项式 二次方根平方根 二次方平方 二进制 二十面体 反余割 反余切 反余弦 反正割 反正切 反正弦 方差 非正态分布 分布 分母 分数 分子 负
复数
高 公理 公式 勾股定理 轨迹 函数 和 横坐标 弧 弧度 环 积 积分 极限 集合 几何 计算 加 加权平均数 加数 假设 减 减数 交集 角 角度 阶乘 截尾 进位 九边形 九面体 矩形 矩阵 开方 空集 空间 宽 棱台 棱柱 棱锥
立方体 菱形 零 六边形 六面体 面 面积 命题 内切圆 内心 排列 旁心 抛物线 平角 平均数 平行 平行六面体 平行四边形 七边形 七面体 奇偶性 球 曲线统计图 全等 权 锐角 锐角三角形 三次方程 三次方根立方根 三次方立方 三角 三角形 扇形 扇形统计图 商 上舍入 射线 十边形 十二边形 十二面体 十进制 十六进制 十面体 十一边形 十一面体 实数 数 数列级数 数字 双曲线 四边形 四次方 四次方程 四次方根 四面体 四舍五入 算术 梯形 体 体积 条形统计图 统计 图表 图象 椭圆 外切圆 外心 微分 微积分 未知数 无理数 无穷大 无穷小 无效数字 五边形 五面体 系数 下舍入 线 线段 相交 相似 相位 小数 小数点 小于 小于等于 斜边 行列式 虚数 旋转 一次方程 映射 有理数 有效数字 余割 余切 余弦 元素 原点 圆 圆台 圆心 圆周 圆周率 圆柱 圆锥 运算 运算符 折线统计图 振幅 整数 正 正多边形 正方形 正割 正切 正态分布 正弦 证明 直角 直角边 直角三角形 直角梯形 直径 值域 指数幂 重心 周长 周角 周期 周期性 轴 柱形统计图 子集 自然数 纵坐标 组合 坐标系 坐标轴