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中文名;二階導數

含義;原函數導數的導數

幾何意義1;切線斜率變化的速度

幾何意義2;函數的凹凸性

標記方式;y『『=d^2y/dx^2即y=(y)

應用;判斷函數凹凸等

二階導數是一階導數的導數。從原理上看,它表示一階導數的變化率;從圖形上看,它反映的是函數圖像的凹凸性。[1]

目錄

定義

以導數定義法定義:如果函數

以極限定義法定義:函數處的導數,即

物理意義

以物理運動為例,我們知道,變速直線運動的速度的導數,即

這種導數的導數的二階導數,記作

所以,直線運動的加速度就是位置函數的二階導數

幾何意義

切線斜率變化率

據導數的幾何意義,二階導數按極限形式

可直接理解為曲線的切線斜率的變化率,也就是切線斜率的平均變化率。

凹率

凹率可以認為是二階導數的幾何本質。

據曲線的凹凸性,時,曲線在a點下凹。

如果規定曲線在a點上凹為正,下凹為負(以下均如此設定),則凹向的正負就與的正負就表示曲線在a點上凹的正負。

拋物線的凹率與焦准距

對於拋物線

其導函數為:

則二階導數為,稱2a為整個拋物線的凹率。

拋物線經平移可得原點為頂點的標準拋物線,參數a不變,標準拋物線方程

參考來源

導數大題專題詳解:什麼時候求二階導?

參考資料

  1. 二階導數的意義, 360問答, 2017年12月14日