乘積

乘積，英語稱作 product。在初等算術中的基本定義為，由兩個或兩個以上的數或量相乘所得出的數或量。有時簡稱為積。

乘積
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目錄

基本信息

中文名 乘積

外文名 product

拼音 chéngjī

定義 由兩個或以上的數或量相乘

相關術語 加減乘除

應用學科 數學

定義

乘積是數學中多個不同概念的稱呼。算術中，兩個數或多個數相乘得到的結果稱為它們的積或乘積。當相乘的數是實數或複數的時候，相乘的順序對積沒有影響，這稱為交換性。當相乘的是四元數或者矩陣，或者某些代數結構里的元素的時候，順序會對作為結果的乘積造成影響。這說明這些對象的乘法沒有交換性。

當相乘的對象多於兩個的時候，常常使用連乘號∏(大寫的π)表示。就如同多個對象的加法使用∑作為符號一樣。一般約定，相乘的對象只有一個的時候，乘積是對象本身;沒有相乘的對象時也可以約定所謂的"空積"為1。

代數對象的積

各種代數結構中的對象可以通過定義不同的二元運算得到不同的積。比如說，平面向量可以定義點積，三維向量可以定義叉積和混合積。常見的積還包括:

向量空間中兩個向量的內積

矩陣集合中矩陣的乘積

矩陣的阿達馬乘積

矩陣的克羅內克乘積

張量的外積

張量的張量積

兩個函數的逐點乘積

代數結構的積

在研究抽象代數中的代數結構時，常常會用到代數結構的積的概念。兩個代數結構的積，一般定義為將兩個代數結構里的元素通過一個二元映射對應為一個新的元素，然後將新的元素通過適當的規則組成的新的代數結構。如果兩個代數結構的元素個數都是有限個，那麼它們的積的元素個數將會是它們分別元素個數的乘積。這也是這種新代數結構被稱為積的原因之一。

常見的代數結構的積有:

笛卡兒積

向量空間的直積

群子集的乘積

群的自由積

拓撲空間的積

代數學定義

乘積的概念取決於"乘法"概念的定義。 當人們將乘法的對象集合提升為更一般的集合，諸如群、環、域等時， 乘積的概念也將有所變化。

設A是一個集合， 我們定義乘法F:A ×A→A, 即一個從A與自身的笛卡爾積到A的映射。 設(x,y)∈A×A， 那麼我們稱像元素F(x,y)為x和y的乘積， 簡記為xy。

例子

1. 整數上兩個元素的乘積就是通常的定義。

2. 矩陣的乘積仍是一個矩陣， 它的計算方式則是按照通常的矩陣乘法。

3. 兩個函數的卷積也能視為某種乘法， 從而其乘積也是一個函數。