非标准分析查看源代码讨论查看历史
《非标准分析》，数理逻辑应用于分析数学并在其中恢复了无限小量方法的第一本专著，阿·鲁宾逊著。1966年以《逻辑与数学基础研究》丛书的第74卷由北荷兰出版公司出版，1970年再版，有俄、日译本。中译本科学出版社1980年出版，申又枨、王世强、张锦文等译。
内容简介
本书分10章，共306页。开创非标准分析以前，牛顿、莱布尼茨在创立微积分时，使用了直观无限小量方法，但是，数学家们长期没有能给出合理的系统去消除分析数学中的逻辑矛盾。1830年开始，柯西等数学家建立了极限方法，并用它作分析数学的基本概念建立严谨的理论体系(人们称之为标准分析)，从而在分析数学中驱逐了实无限小和无限小量方法，虽然在工程数学中仍用直观的无限小。本书运用数理逻辑方法严格地证明了存在实无限小，从而把实数域R扩充到超实数域*R，在*R上使用无限小量方法建立起来的分析数学叫做非标准分析。这样，就对标准分析和其他数学分支开辟一条新奇和富饶的研究途径。第1章除说明上述主题外，还介绍了以下各章的内容。第2章描述了来自数理逻辑的形式工具，讨论了一阶和高阶理论，给出了有穷性原理即紧致性定理的证明。第3章阐述了作为非标准分析框架的数学结构的基本性质，证明了这些结构为无限小理论提供了一个合适的基础，并运用这个理论展开了微积分学初步。接着引入一阶和高阶微分并应用于经典微分几何中的某些初等问题。第4章证明了无限小理论具有一推广形式，它可应用于拓扑空间，在这一理论中重建了拓扑学的各种基本概念。第5章讨论实变函数，用非标准分析的术语定义了勒贝格测度，并证明了若干非标准分析的定理。第6章讨论复变函数的非标准理论。第7章探讨线性赋范空间论，在几个方向上论述了紧致算子的非标准理论。特别是证明了希尔伯特空间中有紧致平方的线性算子具有一个非平凡的不变子空间。这是首次证明了这一结果，从而解决了史密斯与毫尔马斯提出的问题。第8章考察拓扑群，特别是李群并体现了无限小群的直观概念。第9章考察了变分原理，修改了黎曼映象定理的经典证明，还考察了流体动力学中的若干课题，凭借无限小解释了边界层理论的基本概念。第10章对微积分学历史与无限小理论有关的若干阶段作了评述，并简要地概述了作者的形式主义立场:本书好象肯定了各种无限的实体存在，但是，用形式主义者的观点，从语法上来看，这个理论，与其说是引进了新的数学对象，不如说是引进了新的推演过程。
数学家开斯尔认为:阿·鲁宾逊以给出无限小对微积分学的严谨处理解决了分析数学中一个古老的问题，这一成就可能是20世纪数学中的最大成就之一。哥德尔说，我们有充分理由相信，以这种或那种形式表示的非标准分析，将成为未来的分析学。
作者简介
阿·鲁宾逊(Abraham Robimson 1918—1974)，生于德国瓦登堡，1936年毕业于耶路撒冷法语学校，1946年获得希伯莱大学硕士学位，1949年获得伦敦大学博士学位。先后在加拿大的多伦多大学、耶路撒冷的希伯莱大学、美国加州大学洛杉矶分校任教授。1977年荣获荷兰数学会颁发的布劳威尔奖章。是非标准分析的创始人，数理逻辑的分支模型论的创始人之一，同时还是数理哲学中形式主义学派的主要代表。出版有9本专著，一百多篇纯粹与应用数学方面的论文，其代表作有《代表元数学》、《完全理论》、《模型论与代数元数学引论》及本书。
工具书
工具书是专供查找知识信息的文献[1]。它系统汇集某方面的资料，按特定方法加以编排，以供需要时查考使用。根据工具书的基本性质和使用功能，可以划分为检索性工具书和参考性工具书（美国工具书专家盖茨称其为控制-检索型工具书和资料型工具书，Information:control and access，Sources of information)。另外还可以根据语种[2]、学科内容、规模大小等标准进行划分。