自同態檢視原始碼討論檢視歷史
自同態是指從群胚、幺半群、群、環到其自身中的同態、向量空間在自身中的線性映射等等。[1]
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射,並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。 同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題,從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤， 稱從E到F中的映射 是幺半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素， (在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是幺半群的同態)。
設G為乘法群，而 ，有
並且將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數，使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態，設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)，稱從E到F中的映射 中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
自同態的定義
自同態是已知集合(群、環、代數)到其自身保持代數結構的映射，例如線性空間到某半空間的射影就是線性空間的自同態，它保持了向量的加法運算和數乘運算。
設G為關於加法的交換群，賦以加法及法則仍記為gf，A-模的情形是類似的。
群的自同態
設 是G上的一個自同態(endomorphism)(或自同構(automorphism))，G上的所有自同態的集合對變換的複合構成—-個含幺半群，稱為G上的自同態半群(endomorphism semigroup)，記作EndG，G上的所有白同構的集合對變換的複合構成一個群，稱為G上的自同構群(automorphism group)，記作AutG。
在群G中，取定一個元素 是G上的一個自同構，這個自同構稱為一個內自同構(inner autmorphism)，G上的全體內自同構構成一個群，稱為內自同構群(inner automorphism group)，記作InnG，即
內自同構群有以下性質。
定理設G是群，其中C為G的中心。
下面通過一些例子來說明如何確定一個群的自同態半群或自同構群。
例1 設Z是整數加群，試確定AutZ。
解: 設 ，由此得k=1或k=-1，也就是說，只有以下兩個映射才有可能是同構映射：。
通過這個簡單的例子可以說明如何確定一個群G的全部自同構(或自同態)，首先分析任意一個自同構(或自同態) 的一般表達式。
環的自同態
設A和A』是兩個環，若有一個A到A『』的映射 有
是一個A到A'的同態。我們把上式稱為保持環中的運算。
如果 是一個單同態；
如果 ；
如果 。
當 將A同構嵌入到A'中。
一個A到A本身的同態，稱為A上的自同態，一個A到A本身的同構，稱為A上的自同構。環A上的全體自同構關於映射的複合構成群，稱為環A上的自同構群，記作AutA。
例2 設A，A'是兩個環，定義映射 ，此同態稱為零同態，是任何兩個環之間都存在的一個同態。