等邊對等角檢視原始碼討論檢視歷史
等邊對等角是三角形的一種定理,在同一三角形中,兩條邊相等,則兩個邊的對角相等,即等邊對等角,如等腰直角三角形,是等角對等邊的逆定理(公理)。也叫做驢橋定理(拉丁語為Pons asinorum),又稱等腰三角形定理,是在歐幾里得幾何中的一個數學定理,是指等腰三角形二腰對應的二底角相等。等腰三角形定理也是歐幾里得的幾何原本第一卷命題五的內容。[1]
目錄
證明法
證法1
證明:
作AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD(角平分線定義)
在△ABD與△ACD中:
AB=AC(已知)
∠BAD=∠CAD(已證)
AD=AD(公共邊)
∴△ABD≌△ACD(SAS)
證法2
《幾何原本》中證法 沒有添加任何輔助線
證明:
在△ABC和△ACB中:
AB=AC(已知)
BC=CB(公共邊)
AC=AB(已知)
∴△ABC≌△ACB(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形的對應角相等)
證法3
證明:
作△ABC中線AD交BC於點D
∵AD是BC中線,
∴BD=CD
在△ABD與△ACD中:
AD=AD(公共邊)
AC=AB(已知)
BD=CD(已知)
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形對應角相等)[2]
正弦定理
∵AB=AC,AB/sinC=AC/sinB
∴sinB=sinC
∴B=C或B+C=180°
∵AB交AC於A
∴B+C≠180°
∴B=C
餘弦定理
cosB=(AB²+BC²-AC²)/(2*AB*BC)
cosC=(AC²+BC²-AB²)/(2*AC*BC)
∵AB=BC
∴兩式相減,化簡得cosB=cosC
∴B=C