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| 微分形式 |
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微分形式(differential form)是多變量微積分，微分拓撲和張量分析領域的一個數學概念。現代意義上的微分形式，及其以楔積和外微分結構形成外代數的想法，都是由著名法國數學家埃里·卡當(Elie Cartan)引入的。
微分流形M上外形式叢的一個光滑截面.設ω:M→Λ(TM*)，若對於外形式叢的叢射影π，滿足π°ω=id，則稱ω為M上的微分形式.
簡介
微分形式的一個優點就是能做外微分 運算。 比如ω=α(x_1,...x_n)dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}是一個r次微分形式， 那麼dω=dα∧dx_{i1}∧dx_{i2}∧...dx_{ir}. 這就把一個r次微分形式映到了r+1次微分形式。換言之，
我們有映射d: A^r(T^*)→A^{r+1}(T^*). 這個映射稱為外微分。
易知兩次外微分的複合等於零， 即dd=0，即poincare(龐加萊)引理. 一個微分形式ω如果滿足dω=0, 我們就稱其為閉形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ， 我們就稱其為恰當形式。 利用dd=0這一條件，我們就得到所謂的DeRham復形， 由這個復形，就導出了所謂的DeRham上同調， 它就是閉形式生成的向量空間商掉恰當形式以後得到的商空間。
楔積法則:d(x∧y)=dx∧y+(-1)^(degx)*x∧dy.
此外， 外微分運算還滿足牛頓-萊布尼茲公式， 即對區域邊界某外微分的積分等於對區域內該外微分的微分的積分。是高斯公式，斯托克斯公式的概括和總結，是單變量微積分中牛頓-萊布尼茲公式在多變量中的推廣。
評價
利用外微分和積分運算， 我們可以得到著名的斯托克斯定理。 它是說一個恰當形式ω=dγ在定義域M上的積分，就等於γ在M的邊界上的積分。這個定理有很多特殊情況， 都是經典微積分理論中的重要公式， 比如牛頓萊布尼茲公式， 高斯公式， 格林公式 等等。
斯托克斯定理表明， 外微分算子d和拓撲圖形的邊緣算子是相伴的。 這暗示了微分分析和拓撲學之間的微妙聯繫。[1]