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可视化微分几何和形式·一部五幕数学正剧
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{| class="wikitable" align="right" |- |<center><img src=https://www0.kfzimg.com/sw/kfz-cos/kfzimg/13196094/e2dcac7bf52c4ada_s.jpg width="250"></center> <small>[https://search.kongfz.com/product/?dataType=0&keyword=%E5%8F%AF%E8%A7%86%E5%8C%96%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%92%8C%E5%BD%A2%E5%BC%8F%C2%B7%E4%B8%80%E9%83%A8%E4%BA%94%E5%B9%95%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%AD%A3%E5%89%A7&page=1 来自 孔夫子旧书网 的图片]</small> |} 《'''可视化微分几何和形式·一部五幕数学正剧'''》，出版时间2024年1月1日，出版社人民邮电出版社<ref>[https://www.ptpress.com.cn/p/z/1625016162875.html 人民邮电出版社简介]，人民邮电出版社</ref>，ISBN9787115611079。 ==内容简介== 本书以五幕[[数学]]剧的形式直观地讲述微分几何和微分形式，包括“空间的实质”“度量”“曲率”“平行移动”和“微分形式”。在前四幕中，作者把“微分几何”回归为“几何”，使用200多幅手绘示意图，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。在第五幕中，作者介绍了微分形式，以直观的几何方式处理高级主题。本书作者挑战性地重新思考了微分几何和微分形式这个重要数学领域的教学方式，只需要基本的微积分<ref>[https://www.sohu.com/a/729822111_121124377 巨巨巨入门！你也能懂的微积分基础]，搜狐，2023-10-20</ref>和几何学知识即可阅读本书。 ==目录== 第一幕空间的本质 第1章欧几里得几何与非欧几何2 1.1欧几里得几何与双曲几何2 1.2球面几何5 1.3球面三角形的角盈8 1.4曲面的内蕴几何与外在[[几何]]9 1.5通过“直性”来构作测地线12 1.6空间的本质15 第2章高斯曲率18 2.1引言18 2.2圆的周长和面积20 2.3局部高斯–博内定理24 第3章序幕和第一幕的习题26 第二幕度量 第4章曲面映射：度量34 4.1引言34 4.2球面的投影地图36 4.3一般曲面上的度量38 4.4度量曲率公式41 4.5共形地图43 4.6讲一点儿可视化的复分析45 4.7球面的共形球极地图49 4.8球极平面投影公式53 4.9球极平面投影的保圆性55 第5章伪球面和双曲[[平面]]57 5.1贝尔特拉米的洞察57 5.2曳物线和伪球面58 5.3伪球面的共形地图61 5.4贝尔特拉米–庞加莱半平面62 5.5利用光学来求测地线65 5.6平行角68 5.7贝尔特拉米–庞加莱圆盘71 第6章等距变换和复数74 6.1引言74 6.2默比乌斯变换76 6.3主要结果82 6.4爱因斯坦的时空几何学84 6.5三维双曲几何90 第7章第二幕的习题96 第三幕曲率 第8章平面曲线的曲率110 8.1引言110 8.2曲率圆112 8.3牛顿的曲率公式113 8.4作为转向率的曲率115 8.5例子：牛顿的曳物线119 第9章三维空间中的曲线121 第10章[[曲面]]的主曲率124 10.1欧拉的曲率公式124 10.2欧拉的曲率公式的证明126 10.3旋转曲面127 第11章测地线和测地曲率131 11.1测地曲率和法曲率131 11.2默尼耶定理133 11.3测地线是“直的”135 11.4测地曲率的内蕴量度136 11.5量度测地曲率的一个简单的外在方法136 11.6用透明胶带构作测地线的一个新解释137 11.7旋转曲面上的测地线138 11.7.1球面上的克莱罗定理138 11.7.2开普勒第二定律140 11.7.3牛顿对开普勒第二定律的几何证明142 11.7.4克莱罗定理的动力学证明144 11.7.5应用：再看双曲平面上的测地线146 第12章曲面的外在曲率149 12.1引言149 12.2球面映射149 12.3曲面的外在曲率151 12.4哪些形状是可能的?154 第13章高斯的绝妙定理159 13.1引言159 13.2高斯的漂亮定理(1816年)159 13.3[[高斯]]的绝妙定理(1827年)161 第14章尖刺的曲率165 14.1引言165 14.2锥形尖刺的曲率165 14.3多面角的内蕴曲率与外在曲率168 14.4多面体的绝妙定理170 第15章形状导数172 15.1方向导数172 15.2形状导数S175 15.3S的几何效应176 15.4绕道线性代数：奇异值分解和转置运算的几何学177 15.5S的一般矩阵182 15.6S的几何解释和[S]的化简184 15.7[S]由三个曲率完全确定186 15.8渐近方向187 15.9经典术语和记号：三种基本形式189 第16章全局高斯博内定理，引论191 16.1一些拓扑学知识与结果的陈述191 16.2球面和环面的曲率194 16.2.1球面的全曲率194 16.2.2环面的全曲率196 16.3看一看厚[[煎饼]]的K(Sg)197 16.4看一看面包圈和桥的K(Sg)198 16.5拓扑度和球面映射200 16.6历史注释202 第17章全局高斯博内定理的第一个证明(启发性证明)203 17.1平面环路的全曲率：霍普夫旋转定理203 17.2变形圆周的全曲率206 17.3霍普夫旋转定理的启发性证明208 17.4变形球面的全曲率209 17.5全局高斯–博内定理的启发性证明210 第18章全局高斯博内定理的第二个证明(利用角盈)213 18.1欧拉示性数213 18.2欧拉的(经验的)多面体公式213 18.3柯西对欧拉多面体公式的证明216 18.3.1摊平了的多面体216 18.3.2多边形网的欧拉示性数217 18.4勒让德对欧拉多面体公式的证明219 18.5对曲面增加柄以提高其亏格222 18.6全局高斯–博内定理的角盈证明225 第19章全局高斯博内定理的第三个证明(利用向量场)227 19.1引言227 19.2平面上的向量场227 19.3奇点的指数228 19.4原型奇点：[[复幂函数]]231 19.5曲面上的向量场234 19.5.1蜂蜜流向量场234 19.5.2蜂蜜流与地形图的关系236 19.5.3怎样在曲面上定义奇点指数?238 19.6庞加莱–霍普夫定理239 19.6.1例子：拓扑球面239 19.6.2庞加莱–霍普夫定理的证明241 19.6.3应用：欧拉–吕以利埃公式的证明243 19.6.4庞加莱的微分方程与霍普夫的线场的比较244 19.7全局高斯–博内定理的向量场证明249 19.8往前的路怎么走?253 第20章第三幕的习题255 第四幕平行移动 第21章一个历史谜团268 第22章外在的构作270 22.1一边前进，一边向曲面投影270 22.2测地线和平行移动273 22.3马铃薯削皮器的移动274 第23章内蕴的构作278 23.1沿测地线的平行移动278 23.2内蕴(即“协变”)导数279 第24章和乐性283 24.1例子：球面283 24.2一般的测地线[[三角形]]的和乐性285 24.3和乐性是可加的286 24.4例子：双曲平面287 第25章绝妙定理的一个直观几何证明291 25.1引言291 25.2关于记号和定义的一些说明292 25.3至今所知的故事293 25.4球面映射保持平行移动不变294 25.5再说漂亮定理和绝妙定理295 第26章全局高斯博内定理的第四个证明(利用和乐性)297 26.1引言297 26.2沿一条开曲线的和乐性?297 26.3霍普夫对全局高斯–博内定理的内蕴证明299 第27章度量曲率公式的几何证明301 27.1引言301 27.2向量场围绕回路的环流量303 27.3排练：平面上的和乐性304 27.4和乐性作为地图中由度量定义的向量场的环流量306 27.5度量曲率公式的几何证明309 第28章曲率是相邻测地线之间的作用力310 28.1雅可比方程简介310 28.1.1零曲率：平面310 28.1.2正曲率：[[球面]]312 28.1.3负曲率：伪球面314 28.2雅可比方程的两个证明315 28.2.1测地极坐标315 28.2.2相对加速度=速度的和乐性318 28.3小测地圆的周长和面积320 第29章黎曼曲率322 29.1引言和概要322 29.2n流形上的角盈323 29.3平行移动：三种构作方法325 29.3.1定角锥上的最近向量325 29.3.2在平行移动平面内的定角326 29.3.3希尔德的梯子327 29.4内蕴(又称“协变”)导数rv327 29.5黎曼曲率张量329 29.5.1绕一个小“平行四边形”的平行移动329 29.5.2用向量换位子把这个“平行四边形”封闭起来331 29.5.3黎曼曲率的一般公式332 29.5.4黎曼曲率是一个张量334 29.5.5黎曼张量的分量336 29.5.6对于固定的wo，向量的和乐性只依赖于回路所在的平面及其所围面积337 29.5.7黎曼张量的对称性338 29.5.8截面曲率340 29.5.9关于黎曼张量起源的历史注记341 29.6n维流形的雅可比方程343 29.6.1截面雅可比方程的[[几何]]证明343 29.6.2截面雅可比方程的几何意义345 29.6.3雅可比方程和截面雅可比方程的计算证明346 29.7里奇张量347 29.7.1由一束测地线包围的面积的加速度347 29.7.2里奇张量的定义和几何意义349 29.8终曲351 第30章爱因斯坦的弯曲时空352 30.1引言：“我一生中最快乐的想法”352 30.2引力的潮汐力354 30.3牛顿引力定律的几何形式358 30.4时空的度量360 30.5时空的图示362 30.6爱因斯坦的真空场方程的几何形式363 30.7施瓦氏解和爱因斯坦理论的最初验证366 30.8引力波371 30.9爱因斯坦的(有物质的)场方程的几何形式374 30.10引力坍缩成为黑洞377 30.11宇宙学常数：“我一生中最严重的错误”381 30.12结束语383 第31章第四幕的习题384 第五幕形式 第32章1-形式394 32.1[[引言]]394 32.21-形式的定义395 32.31-形式的例子397 32.3.1引力做功的1-形式397 32.3.2引力做功1-形式的可视化398 32.3.3等高线图和梯度1-形式399 32.3.4行向量402 32.3.5狄拉克符号(左矢)402 32.4基底1-形式403 32.51-形式的分量404 32.6梯度df是1-形式405 32.6.1复习：梯度f是一个向量405 32.6.2梯度df是一个1-形式406 32.6.31-形式的笛卡儿基{dxj}407 32.6.4df=(xf)dx+(yf)dy的1-形式解释408 32.71-形式加法的几何解释408 第33章张量411 33.1张量的定义：阶411 33.2例子：线性代数412 33.3从原有的张量做出新张量412 33.3.1加法412 33.3.2乘法：张量积413 33.4分量413 33.5度量张量与经典线元的关系414 33.6例子：再看线性代数415 33.7缩并416 33.8用度量张量来改变张量的阶417 33.9对称张量和反对称张量419 第34章2-形式421 34.12-形式和p-形式的定义421 34.2例子：[[面积]]2-形式422 34.3两个1-形式的楔积423 34.4极坐标下的面积2-形式426 34.5基底2-形式及投影427 34.62-形式与R3中向量的联系：流量429 34.7R3中向量积与楔积的关系431 34.8法拉第的电磁2-形式与麦克斯韦的电磁2-形式433 第35章3-形式439 35.13-形式需要三个维度439 35.2一个2-形式与一个1-形式的楔积439 35.3体积3-形式440 35.4球极坐标中的3-形式441 35.5三个1-形式的楔积，p个1-形式的楔积442 35.6基底3-形式444 35.7Ψ^Ψ≠0可能吗?445 第36章微分学446 36.11-形式的外导数446 36.22-形式和p-形式的外导数448 36.3形式的莱布尼茨法则449 36.4闭形式和恰当形式450 36.4.1基本结果：d2=0450 36.4.2闭形式和恰当形式450 36.4.3复分析：柯西–黎曼方程451 36.5用形式做向量运算452 36.6麦克斯韦方程组456 第37章积分学459 37.11-形式的线积分459 37.1.1环流和功459 37.1.2与路径的无关性<=>闭合环路积分为零460 37.1.3恰当形式φ=df的积分461 37.2外导数是一个[[积分]]461 37.2.11-形式的外导数461 37.2.22-形式的外导数465 37.3外微积分基本定理(广义斯托克斯定理)467 37.3.1外微积分基本定理467 37.3.2相伴的历史问题467 37.3.3例子：面积468 37.4边界的边界是零468 37.5向量微积分的经典积分定理469 37.5.1Φ=0-形式469 37.5.2Φ=1-形式470 37.5.3Φ=2-形式471 37.6外微积分基本定理的证明471 37.7柯西定理474 37.81-形式的庞加莱引理474 37.9德拉姆上同调初步475 37.9.1引言475 37.9.2一个特殊的二维涡旋向量场476 37.9.3涡旋1-形式是闭的477 37.9.4涡旋1-形式的几何意义477 37.9.5闭1-形式的环流的拓扑稳定性478 37.9.6第一德拉姆上同调群480 37.9.7R3中的平方反比点源482 37.9.8第二德拉姆上同调群483 37.9.9环面的第一德拉姆上同调群485 第38章用形式来讲微分几何488 38.1引言：嘉当的活动标架法488 38.2联络1-形式490 38.2.1关于符号的约定和两个定义490 38.2.2联络1-形式491 38.2.3注意：以前习惯的记号493 38.3姿态矩阵494 38.3.1通过姿态矩阵来讲连络形式494 38.3.2例子：柱面标架场495 38.4嘉当的两个结构[[方程]]498 38.4.1用ej的对偶dxj来表示mi的对偶θi498 38.4.2嘉当第一结构方程498 38.4.3嘉当第二结构方程499 38.4.4例子：球面标架场500 38.5曲面的6个基本形式方程505 38.5.1使嘉当的活动标架适用于曲面：形状导数与外在曲率505 38.5.2例子：球面507 38.5.3基底分解的唯一性508 38.5.4曲面的6个基本形式方程509 38.6对称性方程和彼得松–梅纳第–科达齐方程的几何意义510 38.7高斯方程的几何形式511 38.8度量曲率公式和绝妙定理的证明512 38.8.1引理：ω12的唯一性512 38.8.2度量曲率公式的证明512 38.9一个新的公式514 38.10希尔伯特引理514 38.11利布曼的刚性球面定理515 38.12n流形的曲率2-形式517 38.12.1引言和概述517 38.12.2广义外导数519 38.12.3由曲率2-形式导出黎曼张量520 38.12.4再论比安基恒等式521 38.13施瓦西黑洞的曲率522 第39章第五幕的习题528 人名索引541 术语索引546 ==参考文献== [[Category:040 類書總論；百科全書總論]]
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