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當且僅當是全國科學技術名詞審定委員會公布的一個科技名詞。

漢字作為一種形、音、義三位一體的符號系統[1],源於日月鳥獸之形,作為中華文明之標誌[2],連接中華民族的歷史、現在和未來,方正之間充滿美感。

目錄

名詞解釋

當且僅當(英文:If and only if, 或者:iff),或稱若且唯若,在數學、哲學、邏輯學以及其他一些技術性領域中被用來表示「在,並且僅僅在這些條件成立的時候」的縮寫,在英語中的對應標記為iff。

證明

設A與B為兩命題,在證明「A當且僅當B」時,這相當於去同時證明陳述「如果A成立,則B成立」和「如果B成立,則A成立」。另外,也可以證明「如果A成立,則B成立」和「如果A不成立,則B不成立」,後者作為對偶,等價於「如果B成立,則A成立」。

雖然「A當且僅當B」是一個標準用法,但是公認的其他同樣說法還有「B是A的充分必要條件(或稱為充要條件)」,或者「A成立,正當B」。

一般而言,當我們看到「A當且僅當B」,我們可以知道「如果A成立時,則B一定成立」、「如果B成立時,則A也一定成立」、「如果A不成立時,則B也一定不成立」、「如果B不成立時,則A也一定不成立」。

當且僅當A(命題)成立時,B(命題)成立。

也可表示成:B(命題)成立時,A(命題)成立 ;A(命題)成立時,B(命題)成立。即B(命題)等價於A(命題)。

通俗一點來說,就是「在這些情況下,並且僅僅在這些情況下」。

英語縮寫iff

在出版物中,英語iff的表示標記最早出現在約翰·L·凱利的《一般拓撲學》中。它的發明通常被認為是歸於數學家保羅·哈爾莫斯,但在哈爾莫斯的自傳中卻聲明該標記另有出處,他只是首先在數學領域使用。

不同

簡單地,如下的兩個例子可以說明這兩者的不同:

1.當冰淇淋是香草口味的,小王會吃這個冰淇淋。(這等於說:如果冰淇淋是香草口味的,那么小王會吃這個冰淇淋。)

2.當且僅當冰淇淋是香草口味,小王會吃這個冰淇淋。(這等於說:如果冰淇淋是香草口味的,那么小王會吃這個冰淇淋;並且,如果小王吃冰淇淋,那麼這個冰淇淋就是香草口味的。)

第1句只是說小王會吃香草口味的冰淇淋。但是這並沒有排除他還會吃香草以外口味冰淇淋的可能性。可能他會吃,可能不會。這個句子並沒有告訴我們。我們所能夠肯定的是他不會拒絕香草口味的冰淇淋。

但是第2句闡述的非常明確,就是小王會吃並且只吃香草口味的。他不會吃任何其它口味的冰淇淋。

思考

用「當且僅當」連接兩個句子造成的句子被稱為是「雙條件句」。「當且僅當」把兩個句子結合成新的句子。它不應該跟描述兩個句子之間關係的「邏輯等價」混淆。

雙條件句「A當且僅當B」,是用「A」和「B」來陳述A和B所描述的事件狀況之間的關係。

相對照的,「A邏輯等價於B」則注重兩個句子:它只是陳述兩個句子之間的關係,而不是它們所介紹的什麼事情。

這裡的區別非常容易混淆,已經使得很多哲學家迷惑。當然,在「A」邏輯等價於「B」的時候,「A」當且僅當「B」為真,但是它的逆並不成立。讓我們重新考慮上面的句子:

小王今天要吃冰淇淋當且僅當它是香草口味的。

很清楚,對於這個特定的雙條件句,兩個半句之間並沒有邏輯等價。如想了解更多的差異,請參照W. V. Quine的《數理邏輯,第5節》。

在哲學和邏輯學中,「當且僅當」通常用作定義,因為定義被認為是全稱量化的雙條件句。但在數學中,相比起「當且僅當」,如果通常被用於定義。這裡給出一些使用到「當且僅當的」真陳述,也是真雙條件句(第一句是一個定義的例子):

一個人是單身男性當且僅當他是一個未婚的而且是可結婚的男人。

x+1=2當且僅當x=1。

對於任意的A,B, 和C:(A&B) &C當且僅當A& (B&C)。(因為這句句子是用變量和&的形式來寫得,陳述也通常會使用「

」,或者其它用來寫雙條件句的符號,來代替「當且僅當」)

用法

「當且僅當」在邏輯領域以外,如同在數學出版物或者普通的談話中都會用到。如同上面所說,它指的是某個陳述是另外一個的充分必要條件。這是一個數學術語的例子。(即使如此,相比起「當且僅當」,「如果」一般多出現在定義的陳述中。)

參考文獻