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Y（s）=X(s)H(s)如果定义：f(t)是一个关于t的函数，使得当t<0时候，f(t)=0； 拉普拉斯变换s是一个复变量；mathcal 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e^,dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。则f(t)，的拉普拉斯变换由下列式子给出：F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^,dt 　拉普拉斯逆变换，是已知F(s)，求解f(t)的过程。用符号 mathcal ^，表示。 拉普拉斯变换/逆变换拉普拉斯逆变换的公式是：对于所有的t>0，f(t)= mathcal ^ left=frac int_ ^ F(s),e^,dsc，是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s)，的个别点的实部值。为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。 拉普拉斯变换用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s=σ+j&owega；的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数，j2=-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：如果对于实部σ >；σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函数，记为ft=L-1[F(s)]。函数变换对和运算变换性质 　利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。拉普拉斯变化的存在性：为使F(s)存在，积分式必须收敛。有如下定理：如因果函数f(t)满足：（1）在有限区间可积，（2）存在σ0使|f(t)|e^(-σt)在t→无穷时的极限为0，则对于所有σ大于σ0，拉普拉斯积分式绝对且一致收敛。编辑本段工程应用应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。<ref>[https://baikebaijiahao.sobaidu.com/doc/5566254-5781363.html s?id=1725070714918782868&wfr=spider&for=pc 拉普拉斯变换]搜狗</ref>