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 | style="background: #66CCFFFF2400" align= center| '''<big>多项式</big>'''|-|<center><img src=https://gimg2.baidu.com/image_search/src=http%3A%2F%2Fss2.meipian.me%2Fusers%2F23317690%2F41487253ac785b08dc0ba434fe1bc054.jpg%3Fmeipian-raw%2Fbucket%2Fivwen%2Fkey%2FdXNlcnMvMjMzMTc2OTAvNDE0ODcyNTNhYzc4NWIwOGRjMGJhNDM0ZmUxYmMwNTQuanBn%2Fsign%2F963299be00831591f05b553d2931574b.jpg&refer=http%3A%2F%2Fss2.meipian.me&app=2002&size=f9999,10000&q=a80&n=0&g=0n&fmt=auto?sec=1665439499&t=70425ad64f7c9b51f9a4d268f93621d4 width="300"></center><small>[https://image.baidu.com/search/detail?ct=503316480&z=0&ipn=d&word=%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F&step_word=&hs=0&pn=6&spn=0&di=7117150749552803841&pi=0&rn=1&tn=baiduimagedetail&is=0%2C0&istype=0&ie=utf-8&oe=utf-8&in=&cl=2&lm=-1&st=undefined&cs=2338347849%2C3723618904&os=1759408220%2C2418446683&simid=2338347849%2C3723618904&adpicid=0&lpn=0&ln=1879&fr=&fmq=1662847505698_R&fm=&ic=undefined&s=undefined&hd=undefined&latest=undefined&copyright=undefined&se=&sme=&tab=0&width=undefined&height=undefined&face=undefined&ist=&jit=&cg=&bdtype=0&oriquery=&objurl=https%3A%2F%2Fgimg2.baidu.com%2Fimage_search%2Fsrc%3Dhttp%3A%2F%2Fss2.meipian.me%2Fusers%2F23317690%2F41487253ac785b08dc0ba434fe1bc054.jpg%3Fmeipian-raw%2Fbucket%2Fivwen%2Fkey%2FdXNlcnMvMjMzMTc2OTAvNDE0ODcyNTNhYzc4NWIwOGRjMGJhNDM0ZmUxYmMwNTQuanBn%2Fsign%2F963299be00831591f05b553d2931574b.jpg%26refer%3Dhttp%3A%2F%2Fss2.meipian.me%26app%3D2002%26size%3Df9999%2C10000%26q%3Da80%26n%3D0%26g%3D0n%26fmt%3Dauto%3Fsec%3D1665439499%26t%3D70425ad64f7c9b51f9a4d268f93621d4&fromurl=ippr_z2C%24qAzdH3FAzdH3Fooo_z%26e3B4jtrtwg_z%26e3BvgAzdH3Fdf1837un&gsm=7&rpstart=0&rpnum=0&islist=&querylist=&nojc=undefined&dyTabStr=MCwyLDMsNSw0LDEsNiw3LDgsOQ%3D%3D 来自 呢图网 的图片]</small>|-| style="background: #FF2400" align= center| '''<big></big> '''

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|- | align= light|定义;由若干个单项式的和组成的代数式

在数学中，由若干个单项式相加（或相减）组成的代数式叫做'''多项式'''（减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做 [[ 多项式 ]] 的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。其中多项式中不含字母的项叫做 [[ 常数项 ]] 。<ref>[ https://wenku.so.com/d/da324fdf8993a85f7d36962f3a27f334 多项式概念], 360文库 , --2020年9月6日</ref>

线性 [[ 空 间V 间]]V 上的k次多项式为函数p:V→ℝ，且若ω1,...,ωn为V*的基，则存在ai1,...,ik∈ℝ，对任意v∈V有p(v)=∑ai1,...,ikωi1(v),...,ωikn。

对于比较广义的定义，1个或0个 [[ 单项式 ]] 的和也算多项式。按这个定义，多项式就是整式。实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。0作为多项式时，次数定义为负无穷大（或0）。单项式和多项式统称为整式。

给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A。对 (a1，...，an)∈An，我们把 f 中的 xj 都换成 aj，得出一个 A 中的元素，记作 f(a1...an)。如此， f 可看作一个由 An 到 A 的 [[ 函数 ]] 。

例如 f=x-y。若然考虑 x 是实数或 [[ 复数 ]] ，则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合，是一个代数曲线。事实上所有代数曲线由此而来。

若P（x）有n个重叠的根，则 P‘(x) 有n-1个 [[ 重叠根 ]] 。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x)，则有 a 是 P’(x)的重叠根且有n-1个。

在实际问题中，往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关系y=F(x)，通常只给出了F(x)在某些点xi上的 [[ 函数 值yi值]]yi=F(xi)，j=1，2，…,n+1。即使有时给出了函数F(x)的解析表达式，倘若较为复杂，也不便于计算。因此，需要根据给定点 xi 上的函数值F(xi),求出一个既能反映F(x)的特性，又便于计算的简单函数ƒ(x)来近似地代替F(x),此时ƒ(x)称为F(x)的插值函数；x1,x2,…,xn+1，称为插值节点。求插值函数的方法，称为插值法。

多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的 [[ 微分 ]] 也必定是多项式。

[[ 代数 ]] 基本定理是指所有一元 n 次（复数）多项式都有 n 个（复数）根。

应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式,如果有一个素数p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0，但不能整除αn,且pˆ2不能整除 [[ 常数项 ]] α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。

当F是复数域C时，根据代数基本 [[ 定理 ]] ，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。

当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即 [[ 虚根 ]] 的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。

多项式的 [[ 加法 ]] ，是指多项式中同类项的系数相加，字母保持不变(即合并同类项)。多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项。

F上x1，x2，…，xn的多项式全体所成的集合Fx{1,x2，…,xn}，对于多项式的加法和 [[ 乘法 ]] 成为一个环，是具有 [[ 单位 ]] 元素的整环。

若 f(x)和g(x)是F[x]中的两个多项式，且g(x)不等于0，则在F[x]中有唯一的多项式 q(x)和r(x)，满足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。此时q(x) 称为g(x)除ƒ(x)的商式，r(x)称为余式。当g(x)=x-α时，则r(x)=ƒ(α)称为余元，式中的α是F的元素。此时带余除法具有形式ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α)，称为余元定理。g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要条件是g(x)除ƒ(x)所得余式等于零。如果g(x)是ƒ(x)的因式，那么也称g(x) 能整除ƒ(x)，或ƒ(x)能被g(x)整除。特别地，x-α是ƒ(x)的因式的充分必要 [[ 条件 ]] 是ƒ(α)=0，这时称α是ƒ(x)的一个根。

如果d(x)既是ƒ(x)的因式，又是g(x)的因式，那么称d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个公因式。如果d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个公因式，并且ƒ(x)与g(x)的任一个因式都是d(x)的因式，那么称d(x)是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。如果ƒ(x)=0，那么g(x)就是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。当ƒ(x)与g(x)全不为零时，可以应用辗转相除法来求它们的最大 [[ 公因式 ]] 。

已知一元多项式环F[x]中两个不等于零的多项式ƒ(x)与g(x)，用g(x)除ƒ(x)得商式q1(x)、余式r1(x)。若r1(x)=0，则g(x)就是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。若 r1(x)≠0，则用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、余式r2(x)。若r2(x)=0,则r1就是ƒ(x)与g(x)的一个最大公因式。否则，如此辗转相除下去,余式的次数不断降低，经有限s次之后，必有余式为零次（即零次多项式）或余式为零（即零多项式）。若最终余式结果为零次多项式，则原来f(x)与g(x)互素；若最终余式结果为零 [[ 多项式 ]] ，则原来f(x)与g(x)的最大公因式是最后一次带余除法的是除式。

利用辗转相除法的算法，可将ƒ(x)与g(x)的最大公因式rs(x)表成ƒ(x)和g(x)的 [[ 组合 ]] ，而组合的系数是F上的多项式。

如果ƒ(x)与g(x)的最大公因式是零次多项式，那么称ƒ(x)与g(x)是互素的。最大公因式和互素 [[ 概念 ]] 都可以推广到几个多项式的情形。

如果F[x]中的一个次数不小于1的多项式ƒ(x)，不能表成 F[x] 中的两个次数较低的多项式的 [[ 乘积 ]] ，那么称ƒ(x)是F上的一个不可约多项式。

形如 Pn(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(1)x+a(0)的函数，叫做多项式 [[ 函数 ]] ，它是由常数与自变量x经过有限次 [[ 乘法 ]] 与加法 [[ 运算 ]] 得到的。显然，当n=1时，其为一次函数y=kx+b，当n=2时，其为二次函数y=ax^2+bx+c。

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