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=='''简介'''==

有说布里松(Bryson或Bryso，450 B．C．前后)曾用过“穷竭”一词 ，但没有确切的证据，没有一部古代可靠的权威典籍曾将他的名字与该方法联系起来。辛普利休斯(simplicJus，公元6世纪前半叶)曾描述过智人学派的安蒂丰(Antiphon，约430 B．C．)化圆为方的努力， 说他在圆内作一内接正多边形，然后将边数加倍得另一正多边形。继续此程序， 则圆与正多边形之间的面积就越来越小， 当面积被穷竭时，他说他就用这种方法在圆内内接了一个正多边形， 其边与圆弧相合一致(因为他们很小)， 由于我们可以作与任何正多边形相等的正方形，因为多边形已经作得相合于圆，我们将也能得到一个与圆相等的正方形”(SimpEcius语)。安蒂丰就这样认为自己解决了希腊几何作图的三大问题之一一化圆为方。当然，安蒂丰没有成功是明显的，可我们从这里得到的信息却是模糊的，推测他是受了德谟克利特原子论学派的影响。另外， 所谓“相合一致” 是极为素朴的直觉观念。事实上， 在此过程中， 多边形永远不能与圆相合。无论如何， 这种不断作内接正多边形的方式无疑成为后来穷竭法的滥觞。一般认为是欧多克索斯在前人工作的基础上创造了穷竭法，首次用于数学证明，并取得了最初的成果。欧多克索斯被他的同时代人誉为神明似的人。他的著作没有流传下来，所幸欧几里得将其成果收入了“几何原本 中。《几何原本》 第Ⅻ篇中的一些命题是属于欧多克索斯的。欧多克索斯一扫安蒂丰对割圆的补素模糊甚至是错误的观念， 而将穷竭法建立在无限分割潜在可能性的基础上。他并没有使用诸如“无限” 、“(圆与正多边形) 相合”之类的字眼。正由于此，有的数学史家认为“穷竭法避开了无限这个陷阱”。应该指出，穷竭法所避用的只是实无限罢了，这不仅因为当时缺少处理实无限的手段， 还由于亚里士多德在评述当时数学家的观点时所说；事实上，他们不需要无限(按指实无限)，也不使用无限。他们只是假定有限的直线能随意延长而巳。因此， 从证明的需要来说， 只要有这种无限(按指潜无限)也就够了。欧多克索斯的这种潜无穷观有其哲学渊源。在希腊哲学中，潜无穷观念的初次表白是智人学派的安纳萨戈拉斯(Anaxagoras，约499 B．C．～427 B．C．)作出的。安氏认为万物都可以无限地分割，他以抽象的形式分析[[分割]]过程，而不管施行此过程的实际上的可能挂，将无限分割看作是潜在地可能宴现的过程。欧多克索斯正是吸收了安氏思想的合理内涵。

如所周知，将积分定义为和的极限是柯西给出的。一般认为他的定义是受到教学上用矩形逼近直线形面积启发的。至于他是否受到希腊数学家的影响、影响多大我们不得而知。但无论如何， 尽管穷竭法的推证是几何的而非算术的。但是，穷竭法中并没有显示出积分的法则，它只是积分的一种简单情形。这里的悬殊是观念性的，而不仅仅廷词汇与相对难易的问题 虽然知道一种技巧与将此技巧一般化之间差别不是太大， 但是积分法则是依赖于整套极限理论的， 这是穷竭法所不能企及的。但我们仍然可以说，穷竭法含有原始的积分思想，它的思想巳深深地渗透到了其后的数学中对每个n，都可以算出相应的Sn的值，一方面，随着n的增大Sn的值，来越接近S。但另一方面，所得的Sn始终都是S的近似值，为了得到S的精确值，使n无限制的增大，从几何上看，面积Sn的那个多边形越来越贴近曲边三角形，即阿基米德所说的穷竭曲边三角形，从数值上看，Sn无限接近一个确定的数，这个数就是曲边三角形的面积S，这个数等于1/3,当年，阿基米德就是通过这个方法求得结果。<ref>[https://www.163.com/dy/article/GLMCHG6B0552IAV4.html 穷竭法]搜狗</ref>

=='''参考文献'''==

[[Category:310 數學總論]]