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随机过程
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[[File:随机过程1.jpg|缩略图|随机过程[http://www.ecsponline.com/book_2019/2019/zk/9787030300744-003015-cv_pm.jpg 原图链接][http://www.ecsponline.com/book_2019/2019/zk/9787030300744-003015-cv_pm.jpg 图片来源优酷网]]]
'''随机过程'''（概率术语），是依赖于[[参数]]的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程。
随机过程的理论产生于20世纪初期 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/3bd7KGV-IFV9xcUvLXivz66wjxd8kOEtM9vbtza3KhuVP5q2Ce0KQeIGvZ53hpttx51lQvRZq1yUFCuvYt5Skcdl-5aHT9RXMxMft58wCgjIU5cPjiSRV1jNC5cNzPtpddsL8b2Tvg 百度文库，引用日期2021-01-01] </ref> ，是应物理学、[[生物学]]、管理科学等方面的需要而逐步发展起来的。在自动控制、公用事业、管理科学等方面都有广泛的应用。 <ref>[[何盛明． 财经大辞典： 中国财政经济出版社， 1990]]</ref>
'''中文名''':[[随机过程]]
'''外文名''':Stochastic Process
'''定 义''':广泛使用的理论体系
'''应 用''':建立数学模型
'''应用学科''':一级学科、二级学科
'''理论基础''':由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定
==基本简介==
一般来说，把一组[[随机变量]]定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。
随机过程 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/9d4b9InJPGEzDuQRQ8gqscAWKJgVIzlPt_WAQl9w0A74XeU0s-dAI4yfVpi5gUjs7RXQ1fh3ZIZpOoiJOtmET8pKIlqIyySI52CKF3hVnIbuuwdi2aygbp2l-tY0iPvYwVChlTKzRsJr03XCpPv69QeEI3w4itSaQJh1W9WQ-Eh1u3QWt3Q_OX3jP1KDoiVAR2VjL_gtME7tZXxujFkWrQ 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 整个学科的理论基础是由[[柯尔莫哥洛夫]]和[[杜布]]奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如[[吉布斯]]、[[玻尔兹曼]]、[[庞加莱]]等人对统计力学的研究，及后来[[爱因斯坦]]、[[维纳]]、[[莱维]]等人对[[布朗运动]]的开创性工作。
==随机过程的研究==
===研究方法===
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：
一类是[[概率]]方法，其中用到[[轨道]]性质、停时和[[随机微分方程]]等；另一类是分析的方法，其中用到[[测度论]]、 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/e747Jo8B6a2Ib8CAybbhlg8YHIQUuf7TNgMflqIe9RocBArknZ_aPpPy2W_yJh2DFyFSdCpix4jIUXGMX9Yar-Vj-C7inNbG6z9n8BDM1pWfgt0nSW7enmRrhO1-OEKkEoV9-s0NLQdfF7NbZ1eXaMdpop7cSGNVu6Ijkayd6AU7Ez0blWu_rmdlaypVyPvRN1tpQg_WI2aWBn9hSw 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 微分方程、半群理论、[[函数堆]]和[[希尔伯特空间]]等。
实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
研究内容
主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。
中国学者在 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/e539nIoY2FM5nkokqCb9jKA0q6qh-M0PO4uutht6BEqA4BI4vTi8lXBHd2aMUhHDpYsTTH8loUDv9YwTFgUCtLTvG1DyzUPlY4-a2lqDNAly1d3veST5_1fJ85Wq9X6FVWbz8kn514D8GFu1aMx3T1C_7q7vznckafJunJrKcY-fcn6TtmItCbYCS_A_jdXGZFr23AaNaLUaassXoQ 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 平稳过程、马尔科夫过程、 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/02efULlHFX0F_QfKryH4azYKLLql2opiEql7f8Fo3J8hPX_Ci_5weJKzUpUpj1Ydba9vnG9QHCCBbiW4glEeqgPHRd1pT_GS6lZtSX5q3Hojx5DwP5WzntREYT7WZWxTO9s-9lQF6-29koPMBbsaeL8cYvID0eu6EtZBlcQyYcc-ZsU2g30NApsLN7mjiSVxSLBw9LDcx5NuY7wovQ 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。
数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。
数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的[[定义域]]中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的[[函数]]以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个[[二元函数]]就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。
==发展概况==
1907年前后，Α.Α.[[马尔可夫]]研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/0982da21EuKnMF6akVWzjXTp_dVEW-njlG1rImjunzNDiW0UAGv3eOH_Wm94-t1ytd2UJtl5TST2Z-FYBIbvs4WrGW6556H9mGMa_dsUotJCwyXZWBUBa6dnQn9f9c_HvAekYTdMfnyRZdSer8YmybNcBpIqBb2R2O7LMelI8kzvHAuYd8yVyso_A22OpvVclS26yYJ8D9AT1QWLGw 知网,引用日期2017-05-16] </ref> [[马尔可夫链]]。
1923年N.[[维纳]]给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。
1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《[[概率论的解析方法]]》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《[[平稳过程的相关理论]]》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。
1953年，J.L.杜布的名著《[[随机过程论]]》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
1951年[[伊藤清]]建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，为研究[[马尔可夫]]过程开辟了新的道路；
60年代，法国学派基于[[马尔可夫]]过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、[[鞅论]]、[[极限定理]]、[[随机微分方程]]等方面也做出了较好的工作。
==特殊随机过程==
对过程的概率结构作各种假设，便得到各类特殊的随机过程。
除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、 ；<ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/b1afPZlX2eOISR1KHAsYeNLnoROd6mxi6hubIUhwL2cG5aXkfkGtmZhPdvoFmdx11-t7kzocEUw8EaLmrsoPFJW4zEsCfjWmTR1hKMfEYwSFcEUjDqWVa--pPSXht97HR_PWtPMtOyLuBJtSWUeulsyM38llUQUyGzroxV72MJZjBYtsQ-u55xtu70PpSa8LCmw3ILXgFX743HLUBQ 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程， <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/af42H-Fl5S75d6OguAkDu93pxVBB0YazGZzAkT2ZQhhDShhtiVo54sBMWfeLYCBMco9B4UoXqmpiXOb9D6Y3TT3hDEQNZJb_eWH3ZTvuI_N-5eAX15gbGJotvGtKJi_bzj3mTwnUX8vQPwnXxEbhfTb_AtiRmfwv1Yk0xomM8ibEFxKownPD6MBLtEzWlLH7ikiRh1WOXPkeCXsEHg 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 布朗运动和 ；<ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/7084bSecr7OJnahOVeQd-6FpnWlMsSkHpGvi_iIJvn97ti_X7vd69GOSxlS7LOYyhIeDozhIx859LIaDm17ChaALuMPJehL4W3_o3_uvIpHk8mfkoHH9d67RhfhVIc0QiXQ0Twpqpdal0cNIiMSZgD9Q9z9CZ3Ais5IVyE7O1qUoRE1VtjYgB51-8NrJhM-Dz2Zwr_gwmtHn--r2iA 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 泊松过程，它们的结构比较简单，便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同，前者连续而后者则是上升的阶梯函数。
'''视频'''
'''平稳随机过程服从的分布类型总结'''
{{#iDisplay:m050408umy1 | 560 | 390 | qq }}
==参考文献==
{{Reflist}}
'''随机过程'''（概率术语），是依赖于[[参数]]的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程。
随机过程的理论产生于20世纪初期 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/3bd7KGV-IFV9xcUvLXivz66wjxd8kOEtM9vbtza3KhuVP5q2Ce0KQeIGvZ53hpttx51lQvRZq1yUFCuvYt5Skcdl-5aHT9RXMxMft58wCgjIU5cPjiSRV1jNC5cNzPtpddsL8b2Tvg 百度文库，引用日期2021-01-01] </ref> ，是应物理学、[[生物学]]、管理科学等方面的需要而逐步发展起来的。在自动控制、公用事业、管理科学等方面都有广泛的应用。 <ref>[[何盛明． 财经大辞典： 中国财政经济出版社， 1990]]</ref>
'''中文名''':[[随机过程]]
'''外文名''':Stochastic Process
'''定 义''':广泛使用的理论体系
'''应 用''':建立数学模型
'''应用学科''':一级学科、二级学科
'''理论基础''':由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定
==基本简介==
一般来说，把一组[[随机变量]]定义为随机过程。在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。
随机过程 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/9d4b9InJPGEzDuQRQ8gqscAWKJgVIzlPt_WAQl9w0A74XeU0s-dAI4yfVpi5gUjs7RXQ1fh3ZIZpOoiJOtmET8pKIlqIyySI52CKF3hVnIbuuwdi2aygbp2l-tY0iPvYwVChlTKzRsJr03XCpPv69QeEI3w4itSaQJh1W9WQ-Eh1u3QWt3Q_OX3jP1KDoiVAR2VjL_gtME7tZXxujFkWrQ 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 整个学科的理论基础是由[[柯尔莫哥洛夫]]和[[杜布]]奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如[[吉布斯]]、[[玻尔兹曼]]、[[庞加莱]]等人对统计力学的研究，及后来[[爱因斯坦]]、[[维纳]]、[[莱维]]等人对[[布朗运动]]的开创性工作。
==随机过程的研究==
===研究方法===
研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：
一类是[[概率]]方法，其中用到[[轨道]]性质、停时和[[随机微分方程]]等；另一类是分析的方法，其中用到[[测度论]]、 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/e747Jo8B6a2Ib8CAybbhlg8YHIQUuf7TNgMflqIe9RocBArknZ_aPpPy2W_yJh2DFyFSdCpix4jIUXGMX9Yar-Vj-C7inNbG6z9n8BDM1pWfgt0nSW7enmRrhO1-OEKkEoV9-s0NLQdfF7NbZ1eXaMdpop7cSGNVu6Ijkayd6AU7Ez0blWu_rmdlaypVyPvRN1tpQg_WI2aWBn9hSw 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 微分方程、半群理论、[[函数堆]]和[[希尔伯特空间]]等。
实际研究中常常两种方法并用。另外，组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。
研究内容
主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。
中国学者在 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/e539nIoY2FM5nkokqCb9jKA0q6qh-M0PO4uutht6BEqA4BI4vTi8lXBHd2aMUhHDpYsTTH8loUDv9YwTFgUCtLTvG1DyzUPlY4-a2lqDNAly1d3veST5_1fJ85Wq9X6FVWbz8kn514D8GFu1aMx3T1C_7q7vznckafJunJrKcY-fcn6TtmItCbYCS_A_jdXGZFr23AaNaLUaassXoQ 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 平稳过程、马尔科夫过程、 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/02efULlHFX0F_QfKryH4azYKLLql2opiEql7f8Fo3J8hPX_Ci_5weJKzUpUpj1Ydba9vnG9QHCCBbiW4glEeqgPHRd1pT_GS6lZtSX5q3Hojx5DwP5WzntREYT7WZWxTO9s-9lQF6-29koPMBbsaeL8cYvID0eu6EtZBlcQyYcc-ZsU2g30NApsLN7mjiSVxSLBw9LDcx5NuY7wovQ 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。
数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。
数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的[[定义域]]中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的[[函数]]以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个[[二元函数]]就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。
==发展概况==
1907年前后，Α.Α.[[马尔可夫]]研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为 <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/0982da21EuKnMF6akVWzjXTp_dVEW-njlG1rImjunzNDiW0UAGv3eOH_Wm94-t1ytd2UJtl5TST2Z-FYBIbvs4WrGW6556H9mGMa_dsUotJCwyXZWBUBa6dnQn9f9c_HvAekYTdMfnyRZdSer8YmybNcBpIqBb2R2O7LMelI8kzvHAuYd8yVyso_A22OpvVclS26yYJ8D9AT1QWLGw 知网,引用日期2017-05-16] </ref> [[马尔可夫链]]。
1923年N.[[维纳]]给出了布朗运动的数学定义，这种过程仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。
1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《[[概率论的解析方法]]》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《[[平稳过程的相关理论]]》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。
1953年，J.L.杜布的名著《[[随机过程论]]》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。
1951年[[伊藤清]]建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，为研究[[马尔可夫]]过程开辟了新的道路；
60年代，法国学派基于[[马尔可夫]]过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、[[鞅论]]、[[极限定理]]、[[随机微分方程]]等方面也做出了较好的工作。
==特殊随机过程==
对过程的概率结构作各种假设，便得到各类特殊的随机过程。
除上述正态过程、二阶过程外，重要的还有独立增量过程、 ；<ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/b1afPZlX2eOISR1KHAsYeNLnoROd6mxi6hubIUhwL2cG5aXkfkGtmZhPdvoFmdx11-t7kzocEUw8EaLmrsoPFJW4zEsCfjWmTR1hKMfEYwSFcEUjDqWVa--pPSXht97HR_PWtPMtOyLuBJtSWUeulsyM38llUQUyGzroxV72MJZjBYtsQ-u55xtu70PpSa8LCmw3ILXgFX743HLUBQ 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 马尔可夫过程、平稳过程、鞅点过程和分支过程等。贯穿这些过程类的有两个最重要最基本的过程， <ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/af42H-Fl5S75d6OguAkDu93pxVBB0YazGZzAkT2ZQhhDShhtiVo54sBMWfeLYCBMco9B4UoXqmpiXOb9D6Y3TT3hDEQNZJb_eWH3ZTvuI_N-5eAX15gbGJotvGtKJi_bzj3mTwnUX8vQPwnXxEbhfTb_AtiRmfwv1Yk0xomM8ibEFxKownPD6MBLtEzWlLH7ikiRh1WOXPkeCXsEHg 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 布朗运动和 ；<ref>[https://baike.baidu.com/reference/368895/7084bSecr7OJnahOVeQd-6FpnWlMsSkHpGvi_iIJvn97ti_X7vd69GOSxlS7LOYyhIeDozhIx859LIaDm17ChaALuMPJehL4W3_o3_uvIpHk8mfkoHH9d67RhfhVIc0QiXQ0Twpqpdal0cNIiMSZgD9Q9z9CZ3Ais5IVyE7O1qUoRE1VtjYgB51-8NrJhM-Dz2Zwr_gwmtHn--r2iA 知网，引用日期2017-05-16] </ref> 泊松过程，它们的结构比较简单，便于研究而应用又很广泛。从它们出发,可以构造出许多其他过程。这两种过程的轨道性质不同，前者连续而后者则是上升的阶梯函数。
'''视频'''
'''平稳随机过程服从的分布类型总结'''
{{#iDisplay:m050408umy1 | 560 | 390 | qq }}
==参考文献==
{{Reflist}}