1,399
次編輯
變更
無編輯摘要
'''波动方程'''或称'''波方程'''（{{lang-en|'''wave equation'''}}）是一种重要的[[偏微分方程]]，主要描述[[自然界]]中的各种的[[波动]]现象，包括横波和纵波，例如[[声音|声]]波、[[光]]波、[[无线电波]]和[[水]]波。波动方程抽象自[[声学]]、[[物理光学]]、[[电磁学]]、[[电动力学]]、[[流体力学]]等领域。
:<math> {\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 } </math>
在这个例子中，波速<math>c = \sqrt {\frac{{KL^2 }}{M}}</math>。
===一般解===
==标量形式的三维波动方程==
三维波动方程初值问题的解可以通过求解球面波波动方程得到。求解结果可用于推导二维情况的解。
:<math> r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2. \,</math>
称为三维波动方程的'''影响函数'''，其意义为(ξ,η,ζ)点在''t''=0时刻受到短促脉冲δ函数作用后向空间中传出的波的影响，系数[[分母]]4πc是为方便后续处理而加上的。
可以从三维形式的解通过[[降维法]]得到二维波动方程的影响函数：
:<math>U(t,x - \xi ,y - \eta )=\begin{cases} \frac{1}{{2\pi c}}\frac{1}{{\sqrt {c^2 t^2 - r^2 } }}, & r \le ct \\ 0, & r > ct \end{cases}</math>
其中
:<math>r = \sqrt {(x - \xi )^2 + (y - \eta )^2 } </math>