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[[File:Gauss-Bonnet theorem.svg|thumb|300px|适用高斯-博内定理的复杂区域的一个例子。标示了测地曲率。]]在[[微分几何]]中，'''高斯-博内定理'''（亦称'''高斯-博内公式'''）是关于[[曲面]]的图形（由[[曲率]]表征）和拓扑（由[[欧拉示性数]]表征）间联系的一项重要表述。它是以[[卡尔·弗里德里希·高斯]]和[[皮埃尔·奥西安·博内]]命名的，前者发现了定理的一个版本但从未发表，后者1848年发表了该定理的一个特例。
==定理内容==
设<math>M</math>是一个[[紧空间|紧的]]二维[[黎曼流形]]，<math>\partial M</math>是其边界。令<math>K</math>为<math>M</math>的[[高斯曲率]]，<math>k_g</math>为<math>\partial M</math>的[[测地曲率]]。则有
:<math>\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M), \, </math>
其中''dA''是该曲面的面积元，''ds''是''M''边界的线元。此处<math>\chi(M)</math>是<math>M</math>的[[欧拉示性数]]。
如果<math>\partial M</math>的边界是[[分段光滑]]的，我们将<math>\int_{\partial M}k_g\;ds</math>视作光滑部分相应的积分之和，加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。
== 一般化的高斯-博内定理 ==
广义高斯-博内定理(generalized Gauss–Bonnet theorem)成立于偶数维数的闭黎曼流形。在偶数维数的闭黎曼流形，欧拉示性数仍然可以表达爲曲率多项式的积分。
公式：
<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math>。
这是对于高维空间的直接推广。
例如在四维空间：
<math>\chi(M)=\frac{1}{32\pi^2}\int_M\left(|Rm|^2-4|Rc|^2+R^2\right)d\mu</math>
==二维高斯-博内定理的操作式证明==
[[陈省身]]大师曾给出高维裡'''高斯-博内定理'''的一个内蕴证明。
==外部链接==
*[http://mathworld.wolfram.com/Gauss-BonnetFormula.html 高斯-博内定理]
[[Category:曲面的微分几何|G]]
[[Category:数学定理|G高]]
[[Category:黎曼曲面|G高]]
==定理内容==
设<math>M</math>是一个[[紧空间|紧的]]二维[[黎曼流形]]，<math>\partial M</math>是其边界。令<math>K</math>为<math>M</math>的[[高斯曲率]]，<math>k_g</math>为<math>\partial M</math>的[[测地曲率]]。则有
:<math>\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M), \, </math>
其中''dA''是该曲面的面积元，''ds''是''M''边界的线元。此处<math>\chi(M)</math>是<math>M</math>的[[欧拉示性数]]。
如果<math>\partial M</math>的边界是[[分段光滑]]的，我们将<math>\int_{\partial M}k_g\;ds</math>视作光滑部分相应的积分之和，加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。
== 一般化的高斯-博内定理 ==
广义高斯-博内定理(generalized Gauss–Bonnet theorem)成立于偶数维数的闭黎曼流形。在偶数维数的闭黎曼流形，欧拉示性数仍然可以表达爲曲率多项式的积分。
公式：
<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math>。
这是对于高维空间的直接推广。
例如在四维空间：
<math>\chi(M)=\frac{1}{32\pi^2}\int_M\left(|Rm|^2-4|Rc|^2+R^2\right)d\mu</math>
==二维高斯-博内定理的操作式证明==
[[陈省身]]大师曾给出高维裡'''高斯-博内定理'''的一个内蕴证明。
==外部链接==
*[http://mathworld.wolfram.com/Gauss-BonnetFormula.html 高斯-博内定理]
[[Category:曲面的微分几何|G]]
[[Category:数学定理|G高]]
[[Category:黎曼曲面|G高]]