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黎曼几何
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{{General_geometry}}
微分几何中，'''黎曼几何'''（英语：Riemannian geometry）研究具有[[黎曼度量]]的光滑[[流形]]，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。
19世纪，[[波恩哈德·黎曼]]把这个概念加以推广。
任意平滑流形容许[[黎曼度量]]及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为[[伪黎曼流形]]複杂结构的入门。其中大部分都是[[广义相对论]]的四维研究对象。
'''黎曼几何'''与以下主题有关：
# [[度量张量]]
# [[黎曼流形]]
# [[列维-奇维塔联络]]
# [[曲率]]
# [[曲率张量]]
参看：
# [[微分几何主题列表]]
# [[黎曼及度量几何词表]]
== 黎曼几何古典理论 ==
下面给出部分的黎曼几何古典理论。
=== 一般理论 ===
# '''[[高斯-博内定理]]'''：紧致二维[[黎曼流形]]上[[高斯曲率]]的积分等于<math>2\pi\chi(M)</math>这裡的<math>\chi(M)</math>记作''M''的[[欧拉示性数]]。
# '''[[纳什嵌入定理]]'''（两个）被称为[[黎曼几何]]的基础理论。他们表明每个[[黎曼流形]]可以是嵌入[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''n''</sup>.
=== 理论 ===
所有给出的定理中，都将用用空间的局部行为（通常用曲率假设表述）来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。
==== 受限[[截面曲率]] ====
# '''1/4-受限 球定理.'''若''M''是完备''n''-维黎曼流形，其截面曲率严格限制于1和4之间，则''M''同胚于''n''-球。
# '''Cheeger's有限定理.'''给定常数''C''和''D''，只有有限个（微分同胚的流形算作一个）紧''n''-维黎曼流形，其截面曲率<math>|K|\le C</math>并且直径<math>\le D</math>。
# '''[[几乎平坦流形|Gromov的几乎平坦流形]].'''存在一个<math>\epsilon_n>0</math>使得如果一个''n''-维黎曼流形其度量的截面曲率<math>|K|\le \epsilon_n</math>且直径<math>\le 1</math>，则其有限覆盖微分同胚于一个[[Glossary of Riemannian and metric geometry|零流形]].
==== 正曲率 ====
===== 正[[截面曲率]] =====
# '''[[灵魂定理]]'''若''M''是一个不紧的完备正曲率''n''-维黎曼流形，则它微分同胚于'''R'''<sup>n</sup>.
# '''Gromov的贝蒂数定理'''有一个常数''C=C(n)''使得若''M''是一个由正截面曲率的紧连通''n''-维黎曼流形，则它的[[贝蒂数]]之和不超过''C''.
===== 正[[里奇曲率]] =====
# '''[[Myers定理]].'''若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的[[基本群]]有限。
# '''[[分裂定理]].'''若一个完备的''n''-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线（在任何区间上的距离都极小的测地线）则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(''n''-1)-维黎曼流形的直积。
# '''[[Bishop-Gromov不等式|Bishop's不等式]].'''半径为''r''的球在一个有正Ricci曲率的完备''n''-维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。
# '''[[Gromov's紧致性定理]].'''所有正Ricci曲率且直径不超过''D''的黎曼流形在[[Gromov-Hausdorff度量]]下是[[度量空间|仿紧]]的。
===== [[数量曲率]] =====
# ''n''-维环不存在有正数量曲率的度量。
# 若一个紧''n''-维黎曼流形的单射半径<math>\ge \pi</math>，则数量曲率的平均值不超过''n''（''n''-1）。
==== 负曲率 ====
===== 负[[截面曲率]] =====
# 任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。
# 若''M''是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则[[基本群]]的任何[[可交换]]子群同构于整数群'''Z'''。
# 设V<sup>*</sup>是一<math>\mathbb{R}</math>-rank<math>\geq</math>2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率<math>K\leq 0</math>的紧致<math>C^{\infty}</math>黎曼流形，若<math>vol(V)=vol(V^*)</math>，且<math>\pi_1(V)=\pi_1(V^*)</math>，则<math>V</math>与<math>V^*</math>等距。
===== 负[[里奇曲率]] =====
# 任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的[[等距同胚群]]。
# 任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。
== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* Marcel Berger, ''Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century'', (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. ''(Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)''
* Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 ''(Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)''
* Peter Peterson, ''Riemannian Geometry'', (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. ''(Provides an introduction, presented at an undergrad level.)''
{{-}}
{{Relativity}}
{{广义相对论}}
{{Authority control}}
[[Category:黎曼几何| ]]
{{tone|time=2013-12-25}}
[[File:para_riemann.png|thumb|right]]
{{General_geometry}}
微分几何中，'''黎曼几何'''（英语：Riemannian geometry）研究具有[[黎曼度量]]的光滑[[流形]]，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。
19世纪，[[波恩哈德·黎曼]]把这个概念加以推广。
任意平滑流形容许[[黎曼度量]]及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为[[伪黎曼流形]]複杂结构的入门。其中大部分都是[[广义相对论]]的四维研究对象。
'''黎曼几何'''与以下主题有关：
# [[度量张量]]
# [[黎曼流形]]
# [[列维-奇维塔联络]]
# [[曲率]]
# [[曲率张量]]
参看：
# [[微分几何主题列表]]
# [[黎曼及度量几何词表]]
== 黎曼几何古典理论 ==
下面给出部分的黎曼几何古典理论。
=== 一般理论 ===
# '''[[高斯-博内定理]]'''：紧致二维[[黎曼流形]]上[[高斯曲率]]的积分等于<math>2\pi\chi(M)</math>这裡的<math>\chi(M)</math>记作''M''的[[欧拉示性数]]。
# '''[[纳什嵌入定理]]'''（两个）被称为[[黎曼几何]]的基础理论。他们表明每个[[黎曼流形]]可以是嵌入[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>''n''</sup>.
=== 理论 ===
所有给出的定理中，都将用用空间的局部行为（通常用曲率假设表述）来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。
==== 受限[[截面曲率]] ====
# '''1/4-受限 球定理.'''若''M''是完备''n''-维黎曼流形，其截面曲率严格限制于1和4之间，则''M''同胚于''n''-球。
# '''Cheeger's有限定理.'''给定常数''C''和''D''，只有有限个（微分同胚的流形算作一个）紧''n''-维黎曼流形，其截面曲率<math>|K|\le C</math>并且直径<math>\le D</math>。
# '''[[几乎平坦流形|Gromov的几乎平坦流形]].'''存在一个<math>\epsilon_n>0</math>使得如果一个''n''-维黎曼流形其度量的截面曲率<math>|K|\le \epsilon_n</math>且直径<math>\le 1</math>，则其有限覆盖微分同胚于一个[[Glossary of Riemannian and metric geometry|零流形]].
==== 正曲率 ====
===== 正[[截面曲率]] =====
# '''[[灵魂定理]]'''若''M''是一个不紧的完备正曲率''n''-维黎曼流形，则它微分同胚于'''R'''<sup>n</sup>.
# '''Gromov的贝蒂数定理'''有一个常数''C=C(n)''使得若''M''是一个由正截面曲率的紧连通''n''-维黎曼流形，则它的[[贝蒂数]]之和不超过''C''.
===== 正[[里奇曲率]] =====
# '''[[Myers定理]].'''若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的[[基本群]]有限。
# '''[[分裂定理]].'''若一个完备的''n''-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线（在任何区间上的距离都极小的测地线）则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(''n''-1)-维黎曼流形的直积。
# '''[[Bishop-Gromov不等式|Bishop's不等式]].'''半径为''r''的球在一个有正Ricci曲率的完备''n''-维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。
# '''[[Gromov's紧致性定理]].'''所有正Ricci曲率且直径不超过''D''的黎曼流形在[[Gromov-Hausdorff度量]]下是[[度量空间|仿紧]]的。
===== [[数量曲率]] =====
# ''n''-维环不存在有正数量曲率的度量。
# 若一个紧''n''-维黎曼流形的单射半径<math>\ge \pi</math>，则数量曲率的平均值不超过''n''（''n''-1）。
==== 负曲率 ====
===== 负[[截面曲率]] =====
# 任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。
# 若''M''是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则[[基本群]]的任何[[可交换]]子群同构于整数群'''Z'''。
# 设V<sup>*</sup>是一<math>\mathbb{R}</math>-rank<math>\geq</math>2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率<math>K\leq 0</math>的紧致<math>C^{\infty}</math>黎曼流形，若<math>vol(V)=vol(V^*)</math>，且<math>\pi_1(V)=\pi_1(V^*)</math>，则<math>V</math>与<math>V^*</math>等距。
===== 负[[里奇曲率]] =====
# 任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的[[等距同胚群]]。
# 任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。
== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* Marcel Berger, ''Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century'', (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. ''(Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)''
* Jurgen Jost, ''Riemannian Geometry and Geometric Analysis'', (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 ''(Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)''
* Peter Peterson, ''Riemannian Geometry'', (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. ''(Provides an introduction, presented at an undergrad level.)''
{{-}}
{{Relativity}}
{{广义相对论}}
{{Authority control}}
[[Category:黎曼几何| ]]