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密度矩陣
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|<center>'''圖片名稱'''<br><img src="https://pic1.zhimg.com/v2-2416e40f1b147a4b5f6633893129bc2e_1200x500.jpg" width="250"></center><small>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/110243829 圖片來自知乎]</small>
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在[[量子力學]]裏，'''密度算符'''（density operator）與其對應的'''密度矩陣'''（density matrix）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用[[態向量]] \psi\rangle 來描述的[[量子態]]，混合態則是由幾種純態依照[[機率|統計機率]]組成的量子態。假設一個量子系統處於純態\psi_1 \rangle 、\psi_2 \rangle 、\psi_3 \rangle、……的機率分別為w_1、w_2、w_3 、……，則這混合態量子系統的密度算符 rho為
:{\rho} = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i 。
注意到所有機率的總和為1：
:sum_i w_i =1 。
假設 \{|b_i\rang,\quad i=1,2,3,\dots,n\}是一組[[規範正交基]]<ref>[https://www.itsfun.com.tw/%E6%A8%99%E6%BA%96%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E5%9F%BA/wiki-4388225-1414005 規範正交基]，華人百科</ref> ，則對應於密度算符的密度矩陣 \varrho ，其每一個元素 \varrho_{ij}為
:varrho_{ij}=\lang b_i|\rho| b_j\rang= \sum_k w_k\lang b_i | \psi_k \rangle \langle \psi_k |b_j\rang。
對於這量子系統，[[可觀察量]] A 的[[期望值]]為
:langle A \rangle = \sum_i w_i \langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle = \sum_i \langle b_i | {\rho}{A} | b_i \rangle = \operatorname{tr}({\rho}{A}) ，
是可觀察量 A 對於每一個純態的期望值 \langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle 乘以其[[加權平均數|權值]] w_i後的總和。
混合態量子系統出現的案例包括，處於[[熱力學平衡]]或[[化學平衡]]的系統、製備歷史不確定或[[隨機]]變化的系統（因此不知道到底系統處於哪個純態）。假設量子系統處於由幾個[[量子糾纏|糾纏]]在一起的子系統所組成的純態，則雖然整個系統處於純態，每一個子系統仍舊可能處於混合態。在[[量子退相干]]理論裏，密度算符是重要理論工具。
密度算符是一種[[線性算符]]，是[[自伴算符]]、[[非負算符]]（nonnegative operator）、[[跡數]]為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由[[約翰·馮·諾伊曼]]與[[列夫·郎道]]各自獨立於1927年給出。
==純態與混合態==
假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 \psi \rangle 。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如，假設一個量子系統處於純態 \psi_1 \rangle 、 \psi_2 \rangle 的機率都為50%，則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態，不管是純態，還是混合態，都可以用密度矩陣表示。
混合態與[[量子疊加|疊加態]]的概念不同，幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如，\psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt是個純態。
===光子偏振案例===
光子的兩種[[圓偏振|圓偏振態]]，右旋圓偏振態與左旋圓偏振態，分別以態向量 <R\rangle一般地，光子偏振所處於的疊加態可以表示為 alpha|R\rangle+\beta|L\rangle ；其中，alpha 、beta 是係數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。
假若讓處於疊加態 (|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt 的光子通過[[偏振镜|左旋圓偏振器]]，則出射的光子處於左旋圓偏振態L\rangle ；假若通過[[偏振镜|右旋圓偏振器]]，則出射的光子處於右旋圓偏振態 R\rangle 。對於這兩種圓偏振模，光子強度都會減半，貌似意味著疊加態 R\rangle+|L\rangle)/\sqrt 的一半光子處於量子態 R\rangle，另一半處於量子態L\rangle ，但這種解釋並不正確，處於量子態 R\rangle 與 L\rangle 的光子都有可能被[[偏振镜|垂直平面偏振器]]吸收，但是處於量子態 R\rangle+|L\rangle)/\sqrt的光子不會被垂直平面偏振器吸收。
從[[白熾燈]]發射出的光子是一種[[偏振|非偏振態]]光子，不能用疊加態 alpha|R\rangle+\beta|L\rangle 來描述。特別而言，與平面偏振態光子不同，它通過任何偏振器後都會失去50%強度，與圓偏振態光子不同，使用[[波片]]（waveplate）不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為，處於 R \rangle 的機率是50%，處於 L \rangle 的機率是50%。它也可以描述為，處於垂值偏振態的機率是50%，處於水平偏振態的機率是50%。
非偏振態光子的量子態不是純態，而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成，或者，它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分，因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料，足夠計算任何關於混合態的可測量性質。
混合態到底源自何處？試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個[[微觀態]]（microstate），伴隨每一個微觀態都有其發生的機率（[[波茲曼因子]]），它們會因[[熱力學漲落]]（thermal fluctuation）從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序，例如，將光束通過表面粗糙的[[雙折射|雙折射晶體]]，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用[[EPR佯謬|EPR機制]]，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為R,L\rangle+|L,R\rangle)/\sqrt ，整個系統是處於純態，但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子，從分析光子子系統的約化密度算符，可以得到這結論。
一般而言，混合態時常會出現於幾種純態的統計性混合（例如熱力學平衡）、製備程序的不確定性（例如光子可能移動於稍微不同路徑）、包含在糾纏系統內的子系統（例如EPR機制）。
== 參考文獻 ==
{{reflist}}
[[Category:330 物理學總論]]
|<center>'''圖片名稱'''<br><img src="https://pic1.zhimg.com/v2-2416e40f1b147a4b5f6633893129bc2e_1200x500.jpg" width="250"></center><small>[https://zhuanlan.zhihu.com/p/110243829 圖片來自知乎]</small>
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在[[量子力學]]裏，'''密度算符'''（density operator）與其對應的'''密度矩陣'''（density matrix）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用[[態向量]] \psi\rangle 來描述的[[量子態]]，混合態則是由幾種純態依照[[機率|統計機率]]組成的量子態。假設一個量子系統處於純態\psi_1 \rangle 、\psi_2 \rangle 、\psi_3 \rangle、……的機率分別為w_1、w_2、w_3 、……，則這混合態量子系統的密度算符 rho為
:{\rho} = \sum_i w_i | \psi_i \rangle \langle \psi_i 。
注意到所有機率的總和為1：
:sum_i w_i =1 。
假設 \{|b_i\rang,\quad i=1,2,3,\dots,n\}是一組[[規範正交基]]<ref>[https://www.itsfun.com.tw/%E6%A8%99%E6%BA%96%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E5%9F%BA/wiki-4388225-1414005 規範正交基]，華人百科</ref> ，則對應於密度算符的密度矩陣 \varrho ，其每一個元素 \varrho_{ij}為
:varrho_{ij}=\lang b_i|\rho| b_j\rang= \sum_k w_k\lang b_i | \psi_k \rangle \langle \psi_k |b_j\rang。
對於這量子系統，[[可觀察量]] A 的[[期望值]]為
:langle A \rangle = \sum_i w_i \langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle = \sum_i \langle b_i | {\rho}{A} | b_i \rangle = \operatorname{tr}({\rho}{A}) ，
是可觀察量 A 對於每一個純態的期望值 \langle \psi_i | {A} | \psi_i \rangle 乘以其[[加權平均數|權值]] w_i後的總和。
混合態量子系統出現的案例包括，處於[[熱力學平衡]]或[[化學平衡]]的系統、製備歷史不確定或[[隨機]]變化的系統（因此不知道到底系統處於哪個純態）。假設量子系統處於由幾個[[量子糾纏|糾纏]]在一起的子系統所組成的純態，則雖然整個系統處於純態，每一個子系統仍舊可能處於混合態。在[[量子退相干]]理論裏，密度算符是重要理論工具。
密度算符是一種[[線性算符]]，是[[自伴算符]]、[[非負算符]]（nonnegative operator）、[[跡數]]為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由[[約翰·馮·諾伊曼]]與[[列夫·郎道]]各自獨立於1927年給出。
==純態與混合態==
假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 \psi \rangle 。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如，假設一個量子系統處於純態 \psi_1 \rangle 、 \psi_2 \rangle 的機率都為50%，則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態，不管是純態，還是混合態，都可以用密度矩陣表示。
混合態與[[量子疊加|疊加態]]的概念不同，幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如，\psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt是個純態。
===光子偏振案例===
光子的兩種[[圓偏振|圓偏振態]]，右旋圓偏振態與左旋圓偏振態，分別以態向量 <R\rangle一般地，光子偏振所處於的疊加態可以表示為 alpha|R\rangle+\beta|L\rangle ；其中，alpha 、beta 是係數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。
假若讓處於疊加態 (|R\rangle+|L\rangle)/\sqrt 的光子通過[[偏振镜|左旋圓偏振器]]，則出射的光子處於左旋圓偏振態L\rangle ；假若通過[[偏振镜|右旋圓偏振器]]，則出射的光子處於右旋圓偏振態 R\rangle 。對於這兩種圓偏振模，光子強度都會減半，貌似意味著疊加態 R\rangle+|L\rangle)/\sqrt 的一半光子處於量子態 R\rangle，另一半處於量子態L\rangle ，但這種解釋並不正確，處於量子態 R\rangle 與 L\rangle 的光子都有可能被[[偏振镜|垂直平面偏振器]]吸收，但是處於量子態 R\rangle+|L\rangle)/\sqrt的光子不會被垂直平面偏振器吸收。
從[[白熾燈]]發射出的光子是一種[[偏振|非偏振態]]光子，不能用疊加態 alpha|R\rangle+\beta|L\rangle 來描述。特別而言，與平面偏振態光子不同，它通過任何偏振器後都會失去50%強度，與圓偏振態光子不同，使用[[波片]]（waveplate）不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為，處於 R \rangle 的機率是50%，處於 L \rangle 的機率是50%。它也可以描述為，處於垂值偏振態的機率是50%，處於水平偏振態的機率是50%。
非偏振態光子的量子態不是純態，而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成，或者，它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分，因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料，足夠計算任何關於混合態的可測量性質。
混合態到底源自何處？試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個[[微觀態]]（microstate），伴隨每一個微觀態都有其發生的機率（[[波茲曼因子]]），它們會因[[熱力學漲落]]（thermal fluctuation）從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序，例如，將光束通過表面粗糙的[[雙折射|雙折射晶體]]，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用[[EPR佯謬|EPR機制]]，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為R,L\rangle+|L,R\rangle)/\sqrt ，整個系統是處於純態，但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子，從分析光子子系統的約化密度算符，可以得到這結論。
一般而言，混合態時常會出現於幾種純態的統計性混合（例如熱力學平衡）、製備程序的不確定性（例如光子可能移動於稍微不同路徑）、包含在糾纏系統內的子系統（例如EPR機制）。
== 參考文獻 ==
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[[Category:330 物理學總論]]