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'''分形'''（英语：fractal，源自拉丁语：frāctus，有“零碎”、“破裂”之意），又称碎形、残形，通常被定义为“一个粗糙或零碎的[[几何形状]]，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质。分形在[[数学]]中是一种抽象的物体，用于描述自然界中存在的事物。人工分形通常在放大后能展现出相似的形状。分形也被称为扩展对称或展开对称。如果在每次放大后，形状的重复是完全相同的，这被称为自相似。自相似的一个例子是门格海绵。分形在不同的缩放级别上可以是近似相似的。[[曼德博集合]]的放大图像中显示了这种模式。分形也包有图像的细节重复自身的意味。 分形与其他 [[ 几何图形 ]] 相似但又有所不同。当你缩放一个图形时，你就能看出分形和其他几何图形的区别。将一个多边形的边长加倍，它的 [[ 面积 ]] 变为原来的四倍。

要做出科赫雪花，将 [[ 正三角形 ]] 每边中央三分之一的线段以一对同长的线段取代，形成一个等腰的“凸角”。再对上一步骤所形成的每一边做同样的动作。每一次迭代，总长度增加三分之一。科赫雪花即是无限次迭代的结果，有无限长的 [[ 周长 ]] ，但其面积还是有限的。因此， [[科赫曲线| 科赫雪花 ]] 和其他相似构造有时会被称为“怪兽曲线”。

和 [[ 数学家 ]] 们相比，分形一词对大众来说含义不尽相同。相对于数学概念来说，大众可能更熟悉分形 [[ 艺术 ]] 。即使是对数学家来说分形也很难定义，但只要一点点数学背景就可以理解分形的核心特征。

分形的“自我相似”的特征很容易通过类比来理解，就像用镜头或其他设备放大 [[ 数字 ]] 图像，从而发现以前不可见的、更精细的新结构。如果你放大一个分形的图像，则不会出现新的细节；图像没什么变化，相似的 [[ 图案 ]] 一遍又一遍的重复出现。对于有些分形几乎完全一样的图像会不断地重复。 自我相似的特征并非反直觉的。人们在 [[ 生活 ]] 中也能看到自我相似的现象，例如：两面平行的镜子间的无限重复、山上庙里老和尚的故事里的山...分形的不同之处在于重复的图案一定有详细的细节。

细节性的概念和分形的另一个特征——分形维数有关。分形维数不需要数学背景，也很容易理解：分形的分形维数大于它的 [[ 拓扑 ]] 维数，通过将分形尺度与普通的几何形状相比较，我们便能感受到他们的差别。举个例子，通常认为 [[ 直线 ]] 是是一维的，如果直线被分为三部分，每部分都是原来的 1/3 长，你会得到相等的三部分。相比之下，科赫雪花的拓扑维数是 1，和普通的直线一样，但它的分形维数大 于 1 于1 ，因为它有很多的细节。雪花曲线被分为原长的 1/3，得到的 是 4 是4 条原始雪花曲线重组组合的结果。这种与众不同的关系是分形维数的基础。

这也引出了第三个特征：分形在数学上是处处不可微的。具体的说，这意味着分形不能用传统的方法测量。测量非分型曲线，如波浪曲线的长度，只要放大到足够大，总能用直线拟合一小段 [[ 曲线 ]] ，然后就能用卷尺测量这段直线的长度，再将各段直线长度相加，就可以得出波浪的长度。这样做实质上是把曲线看作数学上的 [[ 函数 ]] ，在一小段范围内取一阶泰勒展开，近似为直线，然后求和总长度。但分型曲线是处处不可微的，如果尝试使用直线去拟合分形曲线，如科赫雪花曲线，缩放的过程永远不会停止，因为曲线图案的重复模式总会不断地出现，每次缩放，都需要使用更小的卷尺来贴合曲线。