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波恩哈德·黎曼，德國數學家、物理學家，對數學分析和微分幾何做出了重要貢獻，其中一些為廣義相對論的發展鋪平了道路。 他的名字出現在黎曼ζ函數，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，黎曼思路迴環矩陣和黎曼曲面中。 他初次登台作了題為"論作為幾何基礎的假設"的演講，開創了黎曼幾何，並為愛因斯坦

2011年，陳省身墓園在南開大學省身樓前落成。 陳省身的女兒陳璞嫁給物理學家朱經武。 陳省身結合微分幾何與拓撲方法，先後完成了兩項劃時代的重要工作：其一為黎曼流形的高斯-博內一般公式，另一為埃爾米特流形的示性類論。他引進的一些概念、方法與工具，已遠遠超出微分幾何與拓撲學的範圍而成為整個現代數學中的重要構成部

拉普拉斯算子（Laplace Operator）是n維歐幾里德空間中的一個二階微分算子，定義為梯度（▽f）的散度（▽·f）。拉普拉斯算子也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型算子，稱為拉普拉斯-貝爾特拉米算子。 拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾里德空間，這時它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。

在數學中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論里，音樂同構（Musical isomorphism 或典範同構 canonical isomorphism）是指（偽）黎曼流形 M 的切叢 TM 與餘切叢T*M 之間的同構，這個同構由黎曼度量給出。不過一般地，只要流形的切叢上有一個處處非退化的雙線性形式（比如辛流形上的辛

下的不變的性質。在此觀點下,歐氏空間,仿射空間，射影空間與共形空間等等都有相應的可遷變換群。黎曼流形是彎曲空間且在其上一般沒有可遷變換群作用，因而黎曼流形不在克萊因的幾何空間之列。但從纖維叢的觀點，黎曼流形上各點的切空間仍然是克萊因意義下的幾何空間, 這時各點的切空間之間由聯絡來建立聯繫(要通過曲線的水平提升)。

、群論、微分幾何、微分方程其他許多數學分支中都有廣泛的應用。 微分幾何 拓撲學與微分幾何學有着血緣關係，它們在不同的層次上研究流形的性質。為了研究黎曼流形上的測地線，H.M.摩爾斯在20世紀20年代建立了非退化臨界點理論（摩爾斯理論），把流形上光滑函數的臨界點的指數與流形本身的貝蒂數聯繫起來，並發展

el)方向的熊慶來定理與波萊耳定理。這些工作，受到熊慶來和李國平等人的好評。 1952年，他討論了二維不可定向黎曼流形的不等式A≥kl2，對同胚於二維射影平面和莫比烏斯帶的黎曼流形給出了最佳k值，被國外成為"蒲保明定理"。70年代以來，仍有人試圖推廣該結果但未獲成功。陳省身和楊忠道都介紹過這項工

彎並粘連而成。 流形在數學中用於描述幾何形體，它們提供了研究可微性的最自然的舞台。物理上，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。他們也用於位形空間（configurationspace)。環面(torus)就是雙擺的位形空間。 如果把幾何形體的拓撲結構看作是

上。 近年來唐梓洲老師的工作關注幾何與拓撲的交互關係，如稀有球面(exotic sphere)空間上的等參葉狀結構、黎曼流形及子流形的第一特徵值問題以及Surgery理論與抽象黎曼流形上的等參葉狀結構，相關文章發表於Journal of Differential Geometry，Communication

。 1926年，陳省身進入南開大學數學系。1934年夏，他畢業於清華大學研究院，獲碩士學位，成為中國自己培養的第一名數學研究生。1943年發表《閉黎曼流形的高斯-博內公式的一個簡單內蘊證明》《Hermitian流形的示性類》。1963年至1964年，陳省身擔任美國數學會副主席。1995年陳省身當選為

遠，研究範圍包括:射影微分幾何、歐氏微分幾何、幾何結構與聯絡、積分幾何、示性類、全純映射、極小子流形和網幾何學。他發展了纖維叢理論，用之證明了高維黎曼流形上的高斯—博內公式，提出了陳示性類。主要論著收集於《陳省身文選》。 工具書是專供查找知識信息的文獻。它系統匯集某方面的資料，按特定方法加以編排

手冊》的綜述報告將其列為第十三節的兩個開篇定理。 2.曲率有界、直徑有界流形 Gromov的一個基本定理斷言：在任何維數，曲率有界、直徑有界的黎曼流形的貝蒂數之和一致有界。1990年，Grove提出一個公開問題：是否上述流形的上同調環同構類個數也一致有界？應用有理同倫論方法，方復全-戎小春給出了該問題的第一個反例。

erfer)合作，把高斯-邦內(Bonnet)公式推廣到一般黎曼多面體上．1940年阿蘭道菲爾和W．芬切爾(Fenchel)已把上述公式推廣到n維黎曼流形上，不過要求該流形嵌入在N維歐氏空間中，韋伊等去掉了這一要求，並推廣到具有邊界的多面體上．不過證明用到外爾的管狀方法，而這依賴於胞腔的嵌入．194

座教授"，聘任崗位:概率論與數理統計。 鄭偉安教授長期從事概率論、鞅論、隨機微分幾何、隨機力學、對稱馬稱科夫過程等方面的研究。 撰有論文《黎曼流形上的鞅收斂性問題》、《擴散過程的緊性準則及其在隨機力學中的應用》等。早期工作中的MEYER-ZHENG 弱收斂拓撲以及LYONS-ZHENG 的對